В кубе ABCDA1B1C1D1 найди градусную меру угла между прямыми A1D и AB1.

Ответ: \(60^\circ\).

Как понять решение:

1. В кубе \(A_1D\parallel B_1C\). Поэтому угол между \(A_1D\) и \(AB_1\) равен углу между \(B_1C\) и \(AB_1\).
2. Рассмотрим треугольник \(AB_1C\). Все его стороны — диагонали граней куба. Если ребро куба равно \(a\), то \[ AB_1=B_1C=AC=a\sqrt2. \] Значит, треугольник \(AB_1C\) равносторонний.
3. У равностороннего треугольника все углы по \(60^\circ\), поэтому \[ \angle AB_1C=60^\circ. \] Это и есть искомый угол между прямыми.

Проверка через векторы: \[ \vec{A_1D}=(a,0,-a),\qquad \vec{AB_1}=(0,a,a). \] Тогда \[ \cos\varphi= \frac{|\vec{A_1D}\cdot\vec{AB_1}|} {|\vec{A_1D}|\,|\vec{AB_1}|} = \frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt2} = \frac12. \] Следовательно, \(\varphi=60^\circ\).

Верный вариант: \(60^\circ\).