19.8
Сверь числа и знаки с фото.
19.8. Для каких значений аргумента \(x\) являются неотрицательными значения функции:
- \(y=-3,5x+4\frac{2}{3}\);
- \(y=\frac{5}{9}x-14\frac{7}{18}\);
- \(y=-\frac{7}{8}x+4\frac{4}{7}\);
- \(y=-1\frac{2}{3}x-12,5\)?
Краткий ответ
- \(x \le 1\frac{1}{3}\), то есть \(x \in \left(-\infty; 1\frac{1}{3}\right]\);
- \(x \ge 25{,}9\), то есть \(x \in \left[25{,}9; +\infty\right)\);
- \(x \le 5\frac{11}{49}\), то есть \(x \in \left(-\infty; 5\frac{11}{49}\right]\);
- \(x \le -7{,}5\), то есть \(x \in \left(-\infty; -7{,}5\right]\).
Как решать
«Значения функции неотрицательны» означает \(y \ge 0\). Поэтому для каждой функции нужно решить неравенство. Если коэффициент при \(x\) отрицательный, при делении на него знак неравенства меняется на противоположный. Концы входят в ответ, потому что при \(y=0\) значение уже неотрицательно.
\[ -3{,}5x+4\frac{2}{3}\ge 0 \] \[ -\frac{7}{2}x+\frac{14}{3}\ge 0 \] \[ -\frac{7}{2}x\ge -\frac{14}{3} \] \[ x\le \frac{14}{3}\cdot\frac{2}{7}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3} \]
\[ \frac{5}{9}x-14\frac{7}{18}\ge 0 \] Так как \(14\frac{7}{18}=\frac{259}{18}\): \[ \frac{5}{9}x\ge \frac{259}{18} \] \[ x\ge \frac{259}{18}\cdot\frac{9}{5}=\frac{259}{10}=25{,}9 \]
\[ -\frac{7}{8}x+4\frac{4}{7}\ge 0 \] \[ -\frac{7}{8}x\ge -\frac{32}{7} \] После умножения на отрицательное число знак меняется: \[ x\le \frac{32}{7}\cdot\frac{8}{7}=\frac{256}{49}=5\frac{11}{49} \]
\[ -1\frac{2}{3}x-12{,}5\ge 0 \] \[ -\frac{5}{3}x\ge 12{,}5 \] \[ x\le 12{,}5\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-7{,}5 \]
Проверка
На концах промежутков значение функции равно нулю. Например, в первом случае при \(x=0\) значение \(y>0\), а при \(x=2\) уже \(y<0\), значит, подходит левая часть: \(x\le 1\frac{1}{3}\). Остальные случаи проверяются так же по знаку функции.
Обсуждение
4 сообщенияПрише
Сделай решение проще
Ответы те же:
- \(x \le 1\frac{1}{3}\)
- \(x \ge 25{,}9\)
- \(x \le 5\frac{11}{49}\)
- \(x \le -7{,}5\)
Простое правило
Нужно \(y \ge 0\). Дальше всё как с обычным уравнением, только вместо «\(=\)» стоит «\(\ge\)».
Единственная тонкость: если делим на отрицательное число, знак неравенства переворачиваем.
1) \(-3{,}5x+4\frac{2}{3}\ge 0\)
Переносим число вправо: \[ -3{,}5x \ge -4\frac{2}{3} \]
Делим на \(-3{,}5\) — знак меняется: \[ x \le \frac{4\frac{2}{3}}{3{,}5}=1\frac{1}{3} \]
2) \(\frac{5}{9}x-14\frac{7}{18}\ge 0\)
\[ \frac{5}{9}x \ge 14\frac{7}{18} \]
Коэффициент положительный, знак не меняется: \[ x \ge 14\frac{7}{18}:\frac{5}{9}=25{,}9 \]
3) \(-\frac{7}{8}x+4\frac{4}{7}\ge 0\)
\[ -\frac{7}{8}x \ge -4\frac{4}{7} \]
Делим на отрицательное — знак меняется: \[ x \le 4\frac{4}{7}:\frac{7}{8}=5\frac{11}{49} \]
4) \(-1\frac{2}{3}x-12{,}5\ge 0\)
\[ -1\frac{2}{3}x \ge 12{,}5 \]
Делим на отрицательное — знак меняется: \[ x \le \frac{12{,}5}{1\frac{2}{3}}=7{,}5 \]
Только здесь знак у \(x\) отрицательный и число справа положительное, поэтому ответ получается отрицательным: \[ x \le -7{,}5 \]
Как проверить себя за 5 секунд
Возьми любое число из ответа и подставь: должно получиться \(y \ge 0\). Например, в первом случае \(x=0\): \(y=4\frac{2}{3}>0\) — подходит. А \(x=2\) уже даёт минус — не подходит.
