реши номер 3.172
Сверь числа и знаки с фото.
3.172 Выполните деление с остатком: а) 142 934 на 35; б) 199 808 на 64; в) 125 307 на 266; г) 145 773 на 319.
Краткий ответ
а) \(142\,934 : 35 = 4083\) (остаток \(29\)); б) \(199\,808 : 64 = 3122\) (остаток \(0\)); в) \(125\,307 : 266 = 471\) (остаток \(21\)); г) \(145\,773 : 319 = 456\) (остаток \(309\)).
Как рассуждать
При делении с остатком подбираем такое целое частное \(q\), чтобы выполнялось \[ a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r<b. \] Иначе говоря, \(bq\) — наибольшее кратное делителя, которое ещё не больше делимого.
Подбирать удобно «по разрядам» — сначала тысячи, потом сотни, десятки и единицы.
а) \(142\,934:35\) \[ 35\cdot 4000=140\,000,\ \text{остаток }2934; \] \[ 35\cdot 80=2800,\ \text{остаток }134; \] \[ 35\cdot 3=105,\ \text{остаток }29. \] Так как \(29<35\), получаем частное \(4083\), остаток \(29\).
б) \(199\,808:64\) \[ 64\cdot 3000=192\,000,\ \text{остаток }7808; \] \[ 64\cdot 100=6400,\ \text{остаток }1408; \] \[ 64\cdot 20=1280,\ \text{остаток }128; \] \[ 64\cdot 2=128,\ \text{остаток }0. \] Значит, частное \(3122\), остаток \(0\) — здесь число разделилось нацело.
в) \(125\,307:266\) \[ 266\cdot 400=106\,400,\ \text{остаток }18\,907; \] \[ 266\cdot 70=18\,620,\ \text{остаток }287; \] \[ 266\cdot 1=266,\ \text{остаток }21. \] Частное \(471\), остаток \(21\).
г) \(145\,773:319\) \[ 319\cdot 400=127\,600,\ \text{остаток }18\,173; \] \[ 319\cdot 50=15\,950,\ \text{остаток }2223; \] \[ 319\cdot 6=1914,\ \text{остаток }309. \] Частное \(456\), остаток \(309\), причём \(309<319\).
Проверка
\[ 35\cdot 4083+29=142\,905+29=142\,934; \] \[ 64\cdot 3122=199\,808; \] \[ 266\cdot 471+21=125\,286+21=125\,307; \] \[ 319\cdot 456+309=145\,464+309=145\,773. \] Все равенства сходятся, и каждый остаток меньше своего делителя — значит, деление выполнено верно.
Обсуждение
6 сообщенийРеши в столбик
Решу те же примеры делением «уголком». Подчёркнуты произведения, которые вычитаем.
а) \(142\,934:35\)
\[
\begin{array}{l|l}
142934 & 35\\
\underline{140}\phantom{000} & \mathbf{4083}\\
\phantom{00}293\phantom{0} & \\
\phantom{00}\underline{280}\phantom{0} & \\
\phantom{000}134 & \\
\phantom{000}\underline{105} & \\
\phantom{0000}29 &
\end{array}
\]
Ответ: \(4083\), остаток \(29\).
Здесь после первой цифры \(4\) в частном стоит \(0\), потому что \(29<35\).
б) \(199\,808:64\)
\[ \begin{array}{l|l} 199808 & 64\\ \underline{192}\phantom{000} & \mathbf{3122}\\ \phantom{00}78\phantom{00} & \\ \phantom{00}\underline{64}\phantom{00} & \\ \phantom{00}140\phantom{0} & \\ \phantom{00}\underline{128}\phantom{0} & \\ \phantom{000}128 & \\ \phantom{000}\underline{128} & \\ \phantom{00000}0 & \end{array} \] Ответ: \(3122\), остаток \(0\).
в) \(125\,307:266\)
\[ \begin{array}{l|l} 125307 & 266\\ \underline{1064}\phantom{00} & \mathbf{471}\\ \phantom{0}1890\phantom{0} & \\ \phantom{0}\underline{1862}\phantom{0} & \\ \phantom{000}287 & \\ \phantom{000}\underline{266} & \\ \phantom{0000}21 & \end{array} \] Ответ: \(471\), остаток \(21\).
г) \(145\,773:319\)
\[ \begin{array}{l|l} 145773 & 319\\ \underline{1276}\phantom{00} & \mathbf{456}\\ \phantom{0}1817\phantom{0} & \\ \phantom{0}\underline{1595}\phantom{0} & \\ \phantom{00}2223 & \\ \phantom{00}\underline{1914} & \\ \phantom{000}309 & \end{array} \] Ответ: \(456\), остаток \(309\).
Итоги: \[ \begin{aligned} 142934:35&=4083\ (\text{ост. }29),\\ 199808:64&=3122\ (\text{ост. }0),\\ 125307:266&=471\ (\text{ост. }21),\\ 145773:319&=456\ (\text{ост. }309). \end{aligned} \]
Каждый остаток меньше делителя — значит, примеры решены верно.
Реши
Реши
По правилу деления с остатком: \[ a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r<b. \] Здесь \(a=58\), \(q=3\), значит: \[ 58=3b+r \quad\Rightarrow\quad r=58-3b. \]
Условие \(r<b\) даёт: \[ 58-3b<b \quad\Rightarrow\quad 58<4b \quad\Rightarrow\quad b>14{,}5. \] Кроме того, \(r\ge 0\), поэтому: \[ 58-3b\ge0 \quad\Rightarrow\quad b\le 19. \] Значит, возможны \(b=15,16,17,18,19\).
| Делимое, \(a\) | 58 | 58 | 58 | 58 | 58 |
|---|---|---|---|---|---|
| Делитель, \(b\) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Неполное частное, \(q\) | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| Остаток, \(r\) | 13 | 10 | 7 | 4 | 1 |
Проверка первых двух: \[ 58=15\cdot3+13,\qquad 13<15; \] \[ 58=16\cdot3+10,\qquad 10<16. \]
Если в таблице четыре заполненных столбца, впиши первые четыре пары; пятая пара — ещё один возможный случай.
Заполненная таблица:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Делимое, \(a\) | 58 | 58 | 58 | 58 | 58 |
| Делитель, \(b\) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Неполное частное, \(q\) | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| Остаток, \(r\) | 13 | 10 | 7 | 4 | 1 |
Проверка: \[ 58=15\cdot3+13,\quad 58=16\cdot3+10,\quad 58=17\cdot3+7, \] \[ 58=18\cdot3+4,\quad 58=19\cdot3+1. \]
Почему так: должно выполняться \[ 58=3b+r,\qquad 0\le r<b. \] Тогда \(r=58-3b\), поэтому \[ 0\le 58-3b<b. \] Отсюда \(15\le b\le19\), значит, подходят только \(b=15,16,17,18,19\). Им соответствуют остатки \(13,10,7,4,1\).
