Реши задачу 18
Пришли, пожалуйста, фото или текст задачи 18 — без условия я не могу решить её корректно.
Обсуждение
4 сообщенияЗадача 18
а) Докажем, что \(DQOH\) — параллелограмм.
Точка \(O\) — середина \(AB\), точка \(Q\) — середина \(CD\), значит, \(OQ\) — средняя линия трапеции: \[ OQ\parallel AD,\qquad OQ=\frac{AD+BC}{2}. \]
Так как \(AB\) — диаметр окружности, то \(\angle AHB=90^\circ\), поэтому \(BH\perp AD\). Значит, \(H\) — проекция \(B\) на \(AD\). В равнобедренной трапеции \[ AH=\frac{AD-BC}{2}. \] Тогда \[ DH=AD-AH =AD-\frac{AD-BC}{2} =\frac{AD+BC}{2}. \] Следовательно, \[ DH=OQ. \] Но \(DH\subset AD\), а \(OQ\parallel AD\), значит, \(DH\parallel OQ\). В четырёхугольнике \(DQOH\) одна пара противоположных сторон параллельна и равна, поэтому \(DQOH\) — параллелограмм.
б) Обозначим \(AB=CD=x\). Так как \(\angle BAD=60^\circ\), \[ AH=x\cos60^\circ=\frac{x}{2}. \] Поэтому \[ AD=BC+2AH=2+x. \]
Тогда \[ OQ=\frac{AD+BC}{2} =\frac{(2+x)+2}{2} =2+\frac{x}{2}. \]
Радиус окружности равен \[ R=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}. \] Окружность касается \(CD\), значит, расстояние от \(O\) до прямой \(CD\) равно \(\frac{x}{2}\).
Угол между \(OQ\) и \(CD\) равен \(60^\circ\), поэтому это расстояние равно \[ OQ\sin60^\circ=\left(2+\frac{x}{2}\right)\frac{\sqrt3}{2}. \] Получаем уравнение: \[ \left(2+\frac{x}{2}\right)\frac{\sqrt3}{2} =\frac{x}{2}. \] Отсюда \[ \sqrt3\left(2+\frac{x}{2}\right)=x, \] \[ x=\frac{4\sqrt3}{2-\sqrt3} =8\sqrt3+12. \] Следовательно, \[ AD=2+x=14+8\sqrt3. \]
Ответ: \[ \boxed{AD=14+8\sqrt3} \] (это примерно \(27{,}86\)).
реши все задания
На фото задания 1–11. Ниже ответы и краткие решения.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ответ | 69 | 5 | 16 | 0,45 | 0,2 | −0,1 | 5 | −2 | 0,75 | 1,5 | 11 |
1. \(DE\) — средняя линия, значит треугольник \(CDE\) подобен \(ABC\) с коэффициентом \(\frac12\).
\[
S_{CDE}=\frac14\cdot92=23,\qquad S_{ABED}=92-23=69.
\]
2. По клеткам находим координаты векторов и складываем: \[ |5\vec a+6\vec b|=5. \] Например, при \(\vec a=(-3;2)\), \(\vec b=(2;-1)\): \[ 5\vec a+6\vec b=(-3;4),\qquad |(-3;4)|=\sqrt{9+16}=5. \]
3. Центр сферы совпадает с центром основания конуса, значит радиус основания и высота конуса равны радиусу сферы: \[ r=h=8\sqrt2. \] Образующая: \[ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{2(8\sqrt2)^2}=16. \]
4. \[ P=\frac{36}{80}=0{,}45. \]
5. Исходов, где хотя бы на одной кости выпало больше \(4\): \[ 36-4\cdot4=20. \] Благоприятных исходов по указанной в условии сумме — 4, поэтому \[ P=\frac4{20}=0{,}2. \]
6. Математическое ожидание: \[ E(X)=-2\cdot0{,}6+0\cdot0{,}1+1\cdot0{,}1+4\cdot0{,}1+6\cdot0{,}1=-0{,}1. \]
7. \[ \left(\frac16\right)^{4-x}=6=6^1. \] Значит, \[ -(4-x)=1,\qquad x=5. \]
8. Если в условии угол \(\frac{7\pi}{6}\), то: \[ 8\cos^2\frac{7\pi}{6}-8\sin^2\frac{7\pi}{6}-6 =8\cos\frac{7\pi}{3}-6 =8\cdot\frac12-6=-2. \]
9. По клеткам угловой коэффициент касательной равен \(\frac34=0{,}75\). Значит, \[ f'(x_0)=0{,}75. \]
10. \[ 2100^\circ=\frac{35\pi}{3}. \] При \(\omega=35\), \(\beta=-14\): \[ 35t-7t^2=\frac{35\pi}{3}. \] Первый положительный корень: \[ t\approx1{,}5\text{ мин}. \]
11. Пусть скорость второго велосипедиста \(v\) км/ч, тогда первого — \(v+8\) км/ч. \[ \frac{209}{v}-\frac{209}{v+8}=8. \] После преобразования: \[ v^2+8v-209=0, \] \[ v=11. \] Скорость велосипедиста, пришедшего вторым, — \(11\) км/ч.
