реши все задачи
Сверь числа и знаки с фото.
121 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:
- \(y=x^{4}, x\in[-1;2]\); 2) \(y=x^{7}, x\in[-2;3]\);
- \(y=x^{-1}, x\in[-3;-1]\); 4) \(y=x^{-2}, x\in[1;4]\). 122 Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей:
- \(4,1^{1,2}\); 2) \(0,2^{3}\); 3) \(0,7^{9}\); 4) \((\sqrt{3})^{22}\); 5) \(1,3^{-2}\); 6) \(0,8^{-1}\). 123 Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:
- \(y=-(x-2)^{3}-1\); 2) \(y=(x+3)^{4}+2\).
Я проверил вычисления. Ниже — краткие ответы и пояснения, чтобы был понятен принцип.
Кратко
121.
- наибольшее \(16\) при \(x=2\), наименьшее \(0\) при \(x=0\);
- наибольшее \(2187\) при \(x=3\), наименьшее \(-128\) при \(x=-2\);
- наибольшее \(-\frac13\) при \(x=-3\), наименьшее \(-1\) при \(x=-1\);
- наибольшее \(1\) при \(x=1\), наименьшее \(\frac1{16}\) при \(x=4\).
122.
- \(>1\); 2) \(<1\); 3) \(<1\); 4) \(>1\); 5) \(<1\); 6) \(>1\).
123.
- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\); строго убывает; не ограничена; наибольшего и наименьшего значений нет.
- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[2;+\infty)\); убывает на \((-\infty;-3]\), возрастает на \([-3;+\infty)\); ограничена снизу, сверху нет; минимум \(2\) при \(x=-3\), максимума нет.
121
Общий принцип: на замкнутом отрезке проверяем концы отрезка и точки, где функция меняет направление.
- \(y=x^4\) на \([-1;2]\).
На \([-1;0]\) функция убывает, на \([0;2]\) возрастает, поэтому минимум в \(x=0\).
\[ y(-1)=1,\quad y(0)=0,\quad y(2)=16 \]
Значит: \(\max y=16\) при \(x=2\), \(\min y=0\) при \(x=0\).
- \(y=x^7\) возрастает на всей числовой прямой.
\[ y(-2)=(-2)^7=-128,\qquad y(3)=3^7=2187 \]
Значит: \(\max y=2187\), \(\min y=-128\).
- \(y=x^{-1}=\frac1x\) на \([-3;-1]\). На отрицательной полуоси эта функция убывает.
\[ y(-3)=-\frac13,\qquad y(-1)=-1 \]
Так как \(-\frac13>-1\), максимум равен \(-\frac13\), минимум равен \(-1\).
- \(y=x^{-2}=\frac1{x^2}\) на \([1;4]\). При \(x>0\) функция убывает.
\[ y(1)=1,\qquad y(4)=\frac1{16} \]
Значит: \(\max y=1\), \(\min y=\frac1{16}\).
122
Правило сравнения с единицей:
- если основание \(a>1\), то при положительном показателе \(a^t>1\), а при отрицательном \(a^t<1\);
- если \(0<a<1\), то наоборот: при положительном показателе \(a^t<1\), при отрицательном \(a^t>1\).
Поэтому:
\(4,1^{1,2}>1\), так как \(4,1>1\), показатель положителен;
\(0,2^3<1\), так как \(0<0,2<1\);
\(0,7^9<1\), так как \(0<0,7<1\);
\((\sqrt3)^{22}=3^{11}>1\), так как \(\sqrt3>1\);
\(1,3^{-2}<1\), так как основание больше \(1\), показатель отрицателен;
\(0,8^{-1}=\frac1{0,8}=1,25>1\).
123
1) \(y=-(x-2)^3-1\)
График получается из \(y=x^3\) так: сдвиг вправо на \(2\), отражение от оси \(Ox\), сдвиг вниз на \(1\).
Характерные точки:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(7\) | \(0\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-9\) |
Свойства:
- область определения: \(D(y)=\mathbb R\);
- множество значений: \(E(y)=\mathbb R\);
- функция строго убывает на всей области определения;
- не ограничена ни сверху, ни снизу;
- наибольшего и наименьшего значений не имеет.
2) \(y=(x+3)^4+2\)
График получается из \(y=x^4\) сдвигом влево на \(3\) и вверх на \(2\). Это «U-образная» кривая с вершиной в точке \((-3;2)\).
Характерные точки:
| \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(18\) | \(3\) | \(2\) | \(3\) | \(18\) |
Свойства:
- область определения: \(D(y)=\mathbb R\);
- множество значений: \(E(y)=[2;+\infty)\);
- убывает на \((-\infty;-3]\), возрастает на \([-3;+\infty)\); на всей области определения не является ни возрастающей, ни убывающей;
- ограничена снизу числом \(2\), сверху не ограничена; в целом неограниченная;
- наименьшее значение \(2\) при \(x=-3\), наибольшего значения нет.
