объясни

Краткие ответы

1. \(x\) — натуральное число, лежащее в множестве \(A\).
2. Пустое множество — подмножество целых, целые — подмножество рациональных, рациональные — подмножество действительных.
3. а) ни одно из них не является подмножеством другого; б) \(101 \in B\), \(101 \notin M\).
4. а) \(\{0;1\}\); б) \(\{\)январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь\(\}\); в) перечислить нельзя — треугольников бесконечно много.
5. Пустые — б) и в).
6. Всего \(2^{6}=64\) подмножества (полный список ниже).
7. Верно только в).
8. а) \(A \cap E=\{3;\frac{1}{3};-5\}\); б) \(A \cup E=\{-5;\frac{1}{7};\frac{1}{6};\frac{1}{3};1;2;3;4;7\}\).

Разбор и правила

1–2. Как читать запись. \(x \in A\) — «\(x\) является элементом \(A\)»; \(A \subset B\) — «\(A\) является подмножеством \(B\)», то есть каждый элемент \(A\) есть и в \(B\).

1. \(x\) лежит в \(A\), \(A\) целиком состоит из натуральных чисел, а натуральные числа — часть целых: \(x\) — натуральное (значит, и целое) число.
2. Пустое множество не содержит элементов, поэтому оно подмножество любого множества, в том числе \(Z\). Дальше идёт цепочка вложений числовых множеств: \(Z \subset Q \subset R\).

3. Простые числа бывают однозначными (2, 3, 5, 7) и трёхзначными (101, 103) — они в \(B\), но не в \(M\). Двузначные бывают составными (10, 12) — они в \(M\), но не в \(B\). Значит, ни \(B \subset M\), ни \(M \subset B\); их пересечение непусто: двузначные простые 11, 13, …, 97. б) \(101\) не делится на 2, 3, 5, 7, а \(\sqrt{101}<11\), значит, \(101\) — простое; но оно трёхзначное, поэтому \(101 \in B\) и \(101 \notin M\).

4. а) При делении на 2 возможны только остатки 0 и 1. б) 31 день — в январе, марте, мае, июле, августе, октябре, декабре. в) Сами треугольники перечислить нельзя: их бесконечно много; перечислимы только виды (по углам — остроугольные, прямоугольные, тупоугольные; по сторонам — разносторонние, равнобедренные, равносторонние).

5. а) Параллелограмм с равными диагоналями — это прямоугольник, такие существуют, значит, множество не пусто. б) Делить на ноль нельзя, таких чисел нет — множество пусто. в) Сумма углов треугольника \(180^\circ\), а три тупых угла дали бы больше \(270^\circ\) — множество пусто.

6. Каждое подмножество задаётся ответом «да/нет» для каждого из 6 элементов, поэтому их \(2^{6}=64\). Удобно выписывать по числу элементов:

• 0 элементов (1): \(\varnothing\);
• 1 элемент (6): \(\{1\}, \{4\}, \{5\}, \{6\}, \{7\}, \{8\}\);
• 2 элемента (15): \(\{1;4\}, \{1;5\}, \{1;6\}, \{1;7\}, \{1;8\}, \{4;5\}, \{4;6\}, \{4;7\}, \{4;8\}, \{5;6\}, \{5;7\}, \{5;8\}, \{6;7\}, \{6;8\}, \{7;8\}\);
• 3 элемента (20): \(\{1;4;5\}, \{1;4;6\}, \{1;4;7\}, \{1;4;8\}, \{1;5;6\}, \{1;5;7\}, \{1;5;8\}, \{1;6;7\}, \{1;6;8\}, \{1;7;8\}, \{4;5;6\}, \{4;5;7\}, \{4;5;8\}, \{4;6;7\}, \{4;6;8\}, \{4;7;8\}, \{5;6;7\}, \{5;6;8\}, \{5;7;8\}, \{6;7;8\}\);
• 4 элемента (15): \(\{4;5;6;7\}, \{4;5;6;8\}, \{4;5;7;8\}, \{4;6;7;8\}, \{5;6;7;8\}, \{1;5;6;7\}, \{1;5;6;8\}, \{1;5;7;8\}, \{1;6;7;8\}, \{1;4;6;7\}, \{1;4;6;8\}, \{1;4;7;8\}, \{1;4;5;7\}, \{1;4;5;8\}, \{1;4;5;6\}\);
• 5 элементов (6): \(\{4;5;6;7;8\}, \{1;5;6;7;8\}, \{1;4;6;7;8\}, \{1;4;5;7;8\}, \{1;4;5;6;8\}, \{1;4;5;6;7\}\);
• 6 элементов (1): \(\{1;4;5;6;7;8\}\).

Проверка: \(1+6+15+20+15+6+1=64\). Сам набор \(K\) и пустое множество тоже входят в число подмножеств.

7. Главное — не путать \(\in\) (элемент) и \(\subset\) (подмножество). \(P=\{0{,}5;\,2;\,2{,}5;\,3{,}5\}\) — в нём четыре элемента.

• а) \(0 \in P\) — неверно: в \(P\) есть \(0{,}5\), но не \(0\).
• б) \(P \in \varnothing\) — неверно: пустое множество вообще не содержит элементов.
• в) \(\{2;3{,}5\} \subset P\) — верно: оба числа входят в \(P\).
• г) \(\varnothing \in P\) — неверно: \(\varnothing\) — подмножество \(P\), но не его элемент.
• д) \(P \subset \{3;5\}\) — неверно: \(0{,}5\) и \(2{,}5\) не входят в \(\{3;5\}\).
• е) \(\{2;5{,}5\} \subset P\) — неверно: числа \(5{,}5\) в \(P\) нет.

8. Пересечение — общие элементы, объединение — все элементы вместе, каждый по одному разу.

• Общие у \(A\) и \(E\): \(3\), \(\frac{1}{3}\), \(-5\). Обрати внимание: \(\frac{1}{7}\) из \(A\) и \(7\) из \(E\) — разные числа, они не совпадают.
• Объединение: к шести элементам \(A\) добавляются новые из \(E\) — это \(2\), \(7\), \(\frac{1}{6}\); получаем 9 элементов.
• Проверка количества: \(6+6-3=9\), сходится.