104. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения: а) ab + 16c и 16c + ab; б) (a + 2) + x и a + (2 + x)

На фото — упражнения 104–111. Решаю все по порядку.

Кратко:

• 104: а), в) — переместительное свойство сложения; б) — сочетательное свойство сложения; г) — распределительное свойство умножения.
• 105: а) да; б) да; в) нет; г) да.
• 106: а) да; б) нет; в) нет; г) да.
• 107: а) распределительное свойство умножения относительно вычитания; б) свойства нуля.
• 108: а) да; б) да; в) нет.
• 109: \(-31a\); \(-5c\); \(-3{,}6xy\); \(0{,}23bc\).
• 110: \(-0{,}32n\); \(32ac\).
• 111: \(7x - 7y\); \(3a - 12b\); \(-46a + 69b - 23\); \(-4{,}5x + 6y - 7{,}5z\).

Главная идея

Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных. Проверять тождество «по числам» бесполезно, поэтому работают только с видом выражения, опираясь на свойства действий:

• переместительное: \(p + q = q + p\), \(pq = qp\);
• сочетательное: \((p+q)+r = p+(q+r)\), \((pq)r = p(qr)\);
• распределительное: \(k(p+q) = kp + kq\) (и так же с минусом);
• свойства нуля и противоположных чисел: \(p - p = 0\), \(p \cdot 0 = 0\), \(p + (-p) = 0\).

104

а), в) меняются местами слагаемые — переместительное свойство сложения. б) \((a+2)+x\) и \(a+(2+x)\) — порядок группировки тот же, меняются только скобки, это сочетательное свойство сложения. г) \(5(b+c)=5b+5c\) — множитель \(5\) «раздали» каждому слагаемому: распределительное свойство умножения относительно сложения.

105

а) \((2a)(7b) = (2\cdot 7)(ab) = 14ab\) — да (переместительное и сочетательное свойства умножения). б) \(-2a + 2a = 0\) — да, слагаемые противоположны. в) \(y - x = -(x - y)\), поэтому выражения равны только при \(x=y\). Вообще — нет. г) \(y - x = -(x-y)\), а квадрат противоположных чисел одинаков: \((-t)^2 = t^2\). Значит, да.

106

а) \(8ba = 8ab\), затем \(2 + 8ab = 8ab + 2\) — да. б) \(2(x+7) = 2x + 14\), а это на \(7\) больше, чем \(2x+7\) — нет. в) левая часть равна \(0\) всегда, правая — нет (совпадут лишь при \(a+b=0\)) — нет. г) \((a+b)\cdot 2 = 2a + 2b\) — да, распределительное свойство.

107

а) \(12(a-4) = 12a - 12\cdot 4 = 12a - 48\) — распределительное свойство умножения относительно вычитания. б) \(x - x = 0\), а \(0 \cdot a = 0\) — свойства нуля (можно и так: \((x-x)a = xa - xa = 0\)).

108

а) Да: \(6(x-y) = 6x - 6y\) по распределительному свойству. б) Да: \(a + (2a-4) = (a+2a) - 4 = 3a - 4\) (сочетательное свойство и приведение подобных). в) Нет: \(25(a-a) = 25 \cdot 0 = 0\), а \(0 \neq 25\) — равенство неверно ни при каком \(a\).

109

Собираем числовые множители вместе (переместительное и сочетательное свойства умножения):

а) \(-6{,}2a \cdot 5 = (-6{,}2 \cdot 5)a = -31a\); б) \(4c \cdot (-1{,}25) = (4 \cdot (-1{,}25))c = -5c\); в) \(0{,}3x \cdot (-12y) = (0{,}3 \cdot (-12))(xy) = -3{,}6xy\); г) \(-0{,}1b \cdot (-2{,}3c) = ((-0{,}1)\cdot(-2{,}3))(bc) = 0{,}23bc\) — минус на минус даёт плюс.

110

а) \(1{,}6 \cdot (-0{,}2n) = -0{,}32n\); б) \(-6{,}4a \cdot (-5c) = 32ac\).

111

Раскрываем скобки, умножая каждый член:

а) \(7(x-y) = 7x - 7y\); б) \((a-4b)\cdot 3 = 3a - 12b\); в) \(-23(2a-3b+1) = -46a + 69b - 23\) (знаки внутри скобки меняются на противоположные); г) \(1{,}5(-3x+4y-5z) = -4{,}5x + 6y - 7{,}5z\).

Проверка подстановкой

• 109, а) при \(a=1\): \(-6{,}2 \cdot 1 \cdot 5 = -31\) — сходится с \(-31a\).
• 110, б) при \(a=1,\ c=1\): \((-6{,}4)\cdot(-5) = 32\) — верно.
• 111, в) при \(a=1,\ b=1\): в скобке \(2-3+1=0\), значит результат \(0\); справа \(-46+69-23=0\) — верно.
• 111, г) при \(x=y=z=1\): в скобке \(-3+4-5=-4\), \(1{,}5\cdot(-4)=-6\); справа \(-4{,}5+6-7{,}5=-6\) — верно.

Такой проверкой удобно ловить ошибки со знаками: подставь простые числа и сравни обе части.