№2.149

Краткий ответ

• Периметр прямоугольника с натуральными сторонами не может быть простым числом — никогда.
• Площадь — может: например, \(1 \times 7\) даёт площадь \(7\), а \(7\) — простое число.

Почему так

1. Вспомним определение. Простое число — натуральное число, большее \(1\), у которого ровно два делителя: \(1\) и само оно. Значит, у составного числа должен найтись делитель, отличный от \(1\) и от самого числа.

2. Периметр. Пусть стороны \(a\) и \(b\) — натуральные числа. Тогда

\[ P = 2(a+b) \]

Так как \(a \ge 1\) и \(b \ge 1\), то \(a+b \ge 2\), то есть \(P = 2\cdot k\), где \(k = a+b \ge 2\). Значит, у \(P\) есть делитель \(2\), причём \(P > 2\). Следовательно, \(P\) всегда чётное и не меньше \(4\), а значит — составное.

Например: \(1\times 5\) даёт \(P = 12\), \(2\times 3\) даёт \(P = 10\), \(5\times 5\) даёт \(P = 20\) — везде чётное число.

3. Площадь.

\[ S = a\cdot b \]

• Если \(a = 1\), то \(S = b\). Взяв \(b\) простым (например, \(b = 13\)), получаем простую площадь: \(S = 13\). Может.
• Если же \(a > 1\) и \(b > 1\), то у числа \(S\) уже есть делители \(1\), \(a\), \(b\), \(S\) — оно составное.

Вывод: площадь бывает простой ровно тогда, когда одна сторона равна \(1\), а другая — простое число. Периметр простым не бывает никогда.

Проверка

Возьмём \(1 \times 13\): \(P = 2(1+13) = 28\) — составное (делится на \(2\), \(4\), \(7\)), \(S = 13\) — простое. Всё сходится с выводом.