3 QR − SM = 8, SM, QR — ?; 4 MF = 2 NE, NE, MF — ?

Краткий ответ

№ 3: \(SM=16\), \(QR=24\).

№ 4: \(NE=20\), \(MF=40\).

Главный принцип

В обеих задачах работает одно и то же свойство: средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) параллельна основаниям и равна их полусумме:

\[ m=\frac{a+b}{2} \]

Точки \(E\), \(F\), \(K\), \(L\) отмечены равными штрихами на сторонах — это и есть середины боковых сторон, а отрезки \(EF=20\) и \(KL=30\) — средние линии.

№ 3

Основания — \(SM\) и \(QR\), средняя линия \(EF=20\):

\[ \frac{SM+QR}{2}=20 \;\Rightarrow\; SM+QR=40 \]

По условию \(QR-SM=8\). Складываем оба равенства:

\[ (QR+SM)+(QR-SM)=40+8 \;\Rightarrow\; 2QR=48 \;\Rightarrow\; QR=24 \]

Тогда \(SM=40-24=16\).

Проверка: \(\frac{16+24}{2}=20\) — совпадает с рисунком; \(24-16=8\) — совпадает с условием.

№ 4

Основания — \(NE\) и \(MF\), средняя линия \(KL=30\):

\[ \frac{NE+MF}{2}=30 \;\Rightarrow\; NE+MF=60 \]

По условию \(MF=2\cdot NE\). Подставляем:

\[ NE+2NE=60 \;\Rightarrow\; 3NE=60 \;\Rightarrow\; NE=20,\quad MF=40 \]

Проверка: \(\frac{20+40}{2}=30\) — верно; \(40=2\cdot 20\) — верно.

Что запомнить

1. Увидел равные штрихи на боковых сторонах — перед тобой средняя линия.
2. Дальше всегда два уравнения: «полусумма оснований равна средней линии» и то, что дано в условии (разность или отношение оснований).
3. Если дана разность — удобно сложить уравнения; если дано отношение — удобно подставить одно основание через другое. Последним шагом подставляй числа обратно в оба условия.