объясни как решать, очень подробно как для особо тупых

Давайте разберём уравнения медленно. Главное: \(x\) — это просто неизвестное число. Нам нужно найти такое число, при котором равенство станет верным.

1. Что означает решить уравнение

Например:

\[ x+3=8. \]

Какое число надо прибавить к \(3\), чтобы получилось \(8\)? Число \(5\). Значит, \(x=5\).

То же самое с дробями: дроби — это такие же числа, просто записанные в виде частей. Например, \(x+\frac{7}{20}=\frac45\) означает: «к неизвестному числу прибавили \(\frac{7}{20}\), и получилось \(\frac45\)».

Чтобы найти \(x\), надо отменить действие, которое записано рядом с \(x\).

Запомни три случая:

\[ x+a=b \quad\Rightarrow\quad x=b-a, \]

\[ x-a=b \quad\Rightarrow\quad x=b+a, \]

\[ a-x=b \quad\Rightarrow\quad x=a-b. \]

Поясню словами:

• если к \(x\) прибавили число, то при переносе на другую сторону это число вычитаем;
• если от \(x\) отняли число, то при переносе это число прибавляем;
• если \(x\) вычитали из известного числа, то \(x\) равен разности этих известных чисел.

2. Пункт а)

\[ x+\frac7{20}=\frac45. \]

Здесь к неизвестному \(x\) прибавили \(\frac7{20}\). Чтобы оставить \(x\) одно, надо сделать обратное действие — вычесть \(\frac7{20}\):

\[ x=\frac45-\frac7{20}. \]

Теперь надо вычесть дроби. Для этого нужен общий знаменатель. У дробей знаменатели \(5\) и \(20\). Число \(20\) делится на \(5\):

\[ 20:5=4. \]

Значит, дробь \(\frac45\) умножим сверху и снизу на \(4\):

\[ \frac45=\frac{4\cdot4}{5\cdot4}=\frac{16}{20}. \]

Теперь вычитаем:

\[ x=\frac{16}{20}-\frac7{20} =\frac{16-7}{20} =\frac9{20}. \]

Знаменатель \(20\) остаётся тем же: мы складываем или вычитаем только числители.

Ответ: \(\frac9{20}\).

Проверка: подставим \(x\) в исходное уравнение:

\[ \frac9{20}+\frac7{20} =\frac{16}{20} =\frac45. \]

Верно.

3. Пункт б)

\[ x-\frac23=\frac24. \]

Здесь от \(x\) отняли \(\frac23\). Чтобы найти \(x\), надо сделать обратное действие — прибавить \(\frac23\):

\[ x=\frac24+\frac23. \]

Дробь \(\frac24\) можно сократить:

\[ \frac24=\frac12. \]

Поэтому:

\[ x=\frac12+\frac23. \]

Теперь приводим к общему знаменателю. Знаменатели \(2\) и \(3\), значит, общий знаменатель \(6\).

\[ \frac12=\frac{1\cdot3}{2\cdot3}=\frac36, \]

\[ \frac23=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}=\frac46. \]

Складываем:

\[ x=\frac36+\frac46 =\frac{3+4}{6} =\frac76. \]

Дробь \(\frac76\) неправильная, то есть больше единицы. Выделим целую часть:

\[ \frac76=1\frac16. \]

Ответ: \(\frac76\), или \(1\frac16\).

Проверка:

\[ \frac76-\frac23 =\frac76-\frac46 =\frac36 =\frac12 =\frac24. \]

Верно.

4. Пункт в)

\[ \frac{11}{12}-x=\frac1{18}. \]

Это самый необычный случай: здесь \(x\) вычитают из \(\frac{11}{12}\), а не прибавляют к нему.

Можно рассуждать так. Было число \(\frac{11}{12}\), из него вычли неизвестное \(x\), и осталось \(\frac1{18}\). Значит, неизвестное \(x\) — это разность:

\[ x=\frac{11}{12}-\frac1{18}. \]

Почему не наоборот? Потому что \(x\) — то число, которое забрали. Остаток равен \(\frac1{18}\), а было \(\frac{11}{12}\). Забрали то, что было минус остаток.

Можно проверить и через перенос. Прибавим \(x\) к обеим частям уравнения:

\[ \frac{11}{12}=\frac1{18}+x. \]

Поменяем стороны местами:

\[ \frac1{18}+x=\frac{11}{12}. \]

Теперь переносим \(\frac1{18}\):

\[ x=\frac{11}{12}-\frac1{18}. \]

Считаем. Общий знаменатель для \(12\) и \(18\) равен \(36\), потому что \(36\) делится и на \(12\), и на \(18\).

\[ \frac{11}{12}=\frac{11\cdot3}{12\cdot3}=\frac{33}{36}, \]

так как \(36:12=3\).

\[ \frac1{18}=\frac{1\cdot2}{18\cdot2}=\frac2{36}, \]

так как \(36:18=2\).

Вычитаем:

\[ x=\frac{33}{36}-\frac2{36} =\frac{33-2}{36} =\frac{31}{36}. \]

Ответ: \(\frac{31}{36}\).

Проверка:

\[ \frac{11}{12}-\frac{31}{36} =\frac{33}{36}-\frac{31}{36} =\frac2{36} =\frac1{18}. \]

Верно.

5. Как решать любое похожее уравнение

1. Посмотри, какое действие записано рядом с \(x\): прибавление, вычитание или \(x\) само вычитают.
2. Сделай обратное действие.
3. Если дроби с разными знаменателями, приведи их к общему знаменателю.
4. Складывай или вычитай только числители. Знаменатель оставляй общим.
5. Сократи ответ, если можно.
6. Подставь \(x\) обратно в уравнение и проверь.

Короткая шпаргалка:

\[ x+a=b \Rightarrow x=b-a, \]

\[ x-a=b \Rightarrow x=b+a, \]

\[ a-x=b \Rightarrow x=a-b. \]

Если в пункте б у тебя на листе справа стоит не \(\frac24\), а другая дробь, напиши её — я пересчитаю этот пункт по твоему условию.

В тетради можно оформить так — с каждым шагом, чтобы учитель видел ход решения.

№ 3. Решите уравнения

а)

\[ x+\frac{7}{20}=\frac45 \]

\[ x=\frac45-\frac{7}{20} \]

Приведём \(\frac45\) к знаменателю \(20\):

\[ \frac45=\frac{16}{20} \]

\[ x=\frac{16}{20}-\frac7{20} \]

\[ x=\frac9{20} \]

Проверка:

\[ \frac9{20}+\frac7{20} =\frac{16}{20} =\frac45 \]

Ответ: \(\frac9{20}\).

б)

\[ x-\frac23=\frac24 \]

Сократим \(\frac24\):

\[ \frac24=\frac12 \]

Тогда:

\[ x-\frac23=\frac12 \]

\[ x=\frac12+\frac23 \]

Общий знаменатель — \(6\):

\[ \frac12=\frac36,\qquad \frac23=\frac46 \]

\[ x=\frac36+\frac46 \]

\[ x=\frac76=1\frac16 \]

Проверка:

\[ \frac76-\frac23 =\frac76-\frac46 =\frac36 =\frac12 =\frac24 \]

Ответ: \(\frac76\), или \(1\frac16\).

в)

\[ \frac{11}{12}-x=\frac1{18} \]

\[ x=\frac{11}{12}-\frac1{18} \]

Общий знаменатель — \(36\):

\[ \frac{11}{12}=\frac{33}{36},\qquad \frac1{18}=\frac2{36} \]

\[ x=\frac{33}{36}-\frac2{36} \]

\[ x=\frac{31}{36} \]

Проверка:

\[ \frac{11}{12}-\frac{31}{36} =\frac{33}{36}-\frac{31}{36} =\frac2{36} =\frac1{18} \]

Ответ: \(\frac{31}{36}\).

Вот образец решения, как его обычно записывают на доске и в проверочной работе: с указанием правила, промежуточными преобразованиями и проверкой.

№ 3. Решите уравнения

а)

\[ x+\frac{7}{20}=\frac45 \]

Перенесём \(\frac{7}{20}\) в правую часть с противоположным знаком:

\[ x=\frac45-\frac{7}{20} \]

Приведём \(\frac45\) к знаменателю \(20\):

\[ \frac45=\frac{16}{20} \]

Тогда:

\[ x=\frac{16}{20}-\frac{7}{20} \]

\[ x=\frac{9}{20} \]

Проверка:

\[ \frac{9}{20}+\frac{7}{20} =\frac{16}{20} =\frac45 \]

Ответ: \(x=\frac{9}{20}\).

б)

\[ x-\frac23=\frac24 \]

Так как от \(x\) вычитали \(\frac23\), то, чтобы найти \(x\), прибавим \(\frac23\):

\[ x=\frac24+\frac23 \]

Сократим \(\frac24\):

\[ \frac24=\frac12 \]

Приведём дроби к общему знаменателю \(6\):

\[ x=\frac12+\frac23 =\frac36+\frac46 \]

\[ x=\frac76 \]

Выделим целую часть:

\[ x=1\frac16 \]

Проверка:

\[ \frac76-\frac23 =\frac76-\frac46 =\frac36 =\frac12 =\frac24 \]

Ответ: \(x=\frac76\), или \(x=1\frac16\).

в)

\[ \frac{11}{12}-x=\frac1{18} \]

Здесь \(x\) — вычитаемое. Находим его вычитанием:

\[ x=\frac{11}{12}-\frac1{18} \]

Общий знаменатель дробей — \(36\):

\[ \frac{11}{12}=\frac{33}{36}, \qquad \frac1{18}=\frac2{36} \]

Тогда:

\[ x=\frac{33}{36}-\frac2{36} \]

\[ x=\frac{31}{36} \]

Проверка:

\[ \frac{11}{12}-\frac{31}{36} =\frac{33}{36}-\frac{31}{36} =\frac2{36} =\frac1{18} \]

Ответ: \(x=\frac{31}{36}\).

Такая запись показывает учителю не только ответ, но и применённое правило, приведение к общему знаменателю и проверку.

Без обид и без ярлыков — просто разберём по-настоящему мелко, как будто решаем в первый раз. Задача № 5 — про прямоугольник.

Шаг 0. Прочитаем условие как список

В задаче сказано:

• ширина прямоугольника — \(\frac{3}{26}\) м;
• длина — на \(\frac{5}{52}\) м больше ширины;
• надо найти: а) длину; б) периметр; в) на сколько увеличится периметр, если ширину увеличить на \(\frac{2}{65}\) м, а длину — на \(\frac{3}{78}\) м.

Что значит «дробь \(\frac{3}{26}\) метра»? Это значит: метр разрезали на 26 одинаковых кусочков и взяли 3 таких кусочка. Один кусочек — это \(\frac{1}{26}\) м.

Шаг 1. Слова «на ... больше» — это плюс

Если сказано «длина на \(\frac{5}{52}\) больше ширины», то длину получаем прибавлением:

\[ \text{длина}=\text{ширина}+\frac{5}{52}. \]

Если бы было «в 2 раза больше» — это умножение. А «на» — это сложение.

Шаг 2. Почему нельзя сразу сложить \(\frac{3}{26}\) и \(\frac{5}{52}\)

Представь два способа порезать один и тот же метр шоколадки:

• в первом случае метр порезан на \(26\) кусков, взяли \(3\) куска;
• во втором — на \(52\) куска, взяли \(5\) кусков.

Куски разного размера! Складывать «3 больших куска» и «5 маленьких кусков» нельзя — получится непонятно что. Нужно, чтобы куски были одинаковые.

Как сделать куски одинаковыми? Заметим: \(52\) — это два раза по \(26\). Значит, каждую большую часть можно разрезать пополам:

\[ \frac{3}{26}=\frac{3\cdot2}{26\cdot2}=\frac{6}{52}. \]

Смысл: \(3\) больших куска — это ровно \(6\) маленьких. Дробь не изменилась, просто мы по-другому её записали.

Шаг 3. Пункт а) — длина

\[ \text{длина}=\frac{3}{26}+\frac{5}{52}. \]

Приводим к знаменателю \(52\):

\[ \frac{3}{26}=\frac{6}{52}. \]

\[ \text{длина}=\frac{6}{52}+\frac{5}{52}=\frac{11}{52}\text{ м}. \]

Складываем только верхние числа, а нижнее оставляем тем же: \(6+5=11\), знаменатель \(52\).

Ответ а): \(\frac{11}{52}\) м.

Шаг 4. Пункт б) — периметр. Что это вообще такое

Периметр — это длина забора вокруг фигуры, то есть сумма всех четырёх сторон.

У прямоугольника стороны идут парами: две одинаковые ширины (верх и низ) и две одинаковые длины (левая и правая стороны). Поэтому:

\[ P=\text{ширина}+\text{длина}+\text{ширина}+\text{длина}. \]

Так как ширина и длина повторяются по два раза, можно короче:

\[ P=2\cdot(\text{ширина}+\text{длина}). \]

«Умножить на 2» — это просто «взять пару».

Считаем. Сначала то, что в скобках:

\[ \frac{3}{26}+\frac{11}{52}. \]

Снова приводим к \(52\):

\[ \frac{3}{26}=\frac{6}{52}. \]

\[ \frac{6}{52}+\frac{11}{52}=\frac{17}{52}. \]

Теперь умножаем на 2:

\[ P=2\cdot\frac{17}{52}=\frac{34}{52}. \]

Сокращаем: верх и низ делятся на 2.

\[ \frac{34}{52}=\frac{17}{26}\text{ м}. \]

Ответ б): \(\frac{17}{26}\) м.

Шаг 5. Пункт в) — на сколько вырастет периметр

Ситуация: ширину увеличили на \(\frac{2}{65}\) м, длину — на \(\frac{3}{78}\) м. Спрашивают, на сколько вырастет периметр, а не сами стороны.

Тут главная ловушка. В периметре каждая сторона встречается два раза. Значит, если ширина выросла на \(\frac{2}{65}\), то в периметре прибавка от ширины будет два раза по \(\frac{2}{65}\). То же с длиной.

Запишем рост периметра:

\[ \Delta P=2\cdot\frac{2}{65}+2\cdot\frac{3}{78}=2\cdot\left(\frac{2}{65}+\frac{3}{78}\right). \]

Сначала упростим \(\frac{3}{78}\): и \(3\), и \(78\) делятся на \(3\).

\[ \frac{3}{78}=\frac{1}{26}. \]

Теперь складываем в скобках:

\[ \frac{2}{65}+\frac{1}{26}. \]

Знаменатели \(65\) и \(26\). Общий знаменатель — \(130\) (это \(65\cdot2\) и \(26\cdot5\)).

\[ \frac{2}{65}=\frac{4}{130}\quad(\text{умножили на }2), \]

\[ \frac{1}{26}=\frac{5}{130}\quad(\text{умножили на }5). \]

\[ \frac{4}{130}+\frac{5}{130}=\frac{9}{130}. \]

Осталось умножить на 2:

\[ \Delta P=2\cdot\frac{9}{130}=\frac{18}{130}=\frac{9}{65}\text{ м}. \]

Ответ в): периметр увеличится на \(\frac{9}{65}\) м.

Проверка на здравый смысл: \(\frac{9}{65}\) — это примерно \(0{,}14\) м, то есть около 14 см. Прибавки к сторонам — сантиметра по 3–4, каждая сторона в периметре дважды, значит, итог около 14 см — правдоподобно.

Короткая шпаргалка для похожих задач

1. «На больше» — прибавляем; «в раз больше» — умножаем.
2. Складывать и вычитать дроби можно только при одинаковом знаменателе.
3. Периметр прямоугольника: \(P=2(a+b)\).
4. Если каждая сторона выросла, то рост периметра — это двойная сумма прибавок: \(\Delta P=2(\Delta a+\Delta b)\).

Если в пункте в) на листе другие числа — скажи, какие именно, я пересчитаю по твоему условию.

Тут важное уточнение: \(\frac{2}{65}\) — это не ширина, а то, на сколько ширину увеличили.
И \(\frac{3}{78}\) — не длина, а прибавка к длине.

Я взял эти числа из текста пункта в):

«…если ширину увеличить на \(\frac{2}{65}\) м, а длину — на \(\frac{3}{78}\) м».

То есть в задаче были такие данные:

Слова «увеличить на» означают прибавить:

\[ \text{новая ширина}=\frac{3}{26}+\frac{2}{65}, \]

\[ \text{новая длина}=\frac{11}{52}+\frac{3}{78}. \]

А для периметра важны именно прибавки, потому что каждая сторона входит в периметр дважды:

\[ P=2(a+b). \]

Если ширина выросла на \(\frac{2}{65}\), то в периметре это даст прибавку \(2\cdot\frac{2}{65}\).
Если длина выросла на \(\frac{3}{78}\), то это даст \(2\cdot\frac{3}{78}\).

Поэтому:

\[ \Delta P =2\cdot\frac{2}{65}+2\cdot\frac{3}{78} =2\left(\frac{2}{65}+\frac{3}{78}\right). \]

Дальше считаем:

\[ \frac{3}{78}=\frac{1}{26}, \]

\[ \frac{2}{65}+\frac{1}{26} =\frac{4}{130}+\frac{5}{130} =\frac{9}{130}, \]

\[ \Delta P=2\cdot\frac{9}{130} =\frac{9}{65}\text{ м}. \]

То есть периметр увеличится на \(\frac{9}{65}\) метра.

Если на твоём листе в пункте в) стоят другие дроби, значит, я прочитал условие неточно — напиши точные числа, и я пересчитаю по ним.

Рад, что разобралась. Если в конце задания числа совпали с \(\frac{2}{65}\) и \(\frac{3}{78}\) — ответ в пункте в) верный: периметр вырастет на \(\frac{9}{65}\) м. Если там оказались другие дроби, пришли их — пересчитаю.