39. а) \((x - 1)(x^{2} - 3x + 8) < 0\); б) \((x + 5)(x^{2} + x + 6) \geq 0\); в) \((x - 7)(-x^{2} - 3x - 18) > 0\); г) \((x + 1,2)(x^{2} + 5x + 14) \leq 0\). 40. а) \((x -…

Краткий ответ

Главная идея

1. Каждый множитель исследуем отдельно, а знак всего произведения определяем по методу интервалов.
2. Если у квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\) дискриминант \(D<0\), а \(a>0\), то он всегда положителен: парабола целиком лежит выше оси \(Ox\). Если перед трёхчленом стоит минус, множитель всегда отрицателен.
3. Если множитель — квадрат \((x-x_0)^2\), он неотрицателен и знак произведения не меняет. В точке \(x_0\) произведение равно нулю, и это проверяют отдельно по знаку неравенства (строгое или нестрогое).

39. Трёхчлен корней не имеет — знак задаёт скобка

а) \(D=(-3)^2-4\cdot1\cdot8=9-32=-23<0\), ветви вверх, значит \(x^2-3x+8>0\) при любом \(x\). Произведение отрицательно только при \(x-1<0\): \[ x<1 \quad\Rightarrow\quad (-\infty;\,1). \]

б) \(D=1-24=-23<0\), трёхчлен положителен. Остаётся \(x+5\ge 0\): \[ x\ge -5 \quad\Rightarrow\quad [-5;\,+\infty). \]

в) Вынесем минус: \(-x^2-3x-18=-(x^2+3x+18)\). Здесь \(D=9-72=-63<0\), то есть \(x^2+3x+18>0\), а весь второй множитель отрицателен. Произведение положительно, когда первый множитель тоже отрицателен: \[ x-7<0 \quad\Rightarrow\quad x<7 \quad\Rightarrow\quad (-\infty;\,7). \]

г) \(D=25-56=-31<0\), трёхчлен положителен. Тогда \(x+1{,}2\le 0\): \[ x\le -1{,}2 \quad\Rightarrow\quad (-\infty;\,-1{,}2]. \]

40. Появился кратный корень — работаем с квадратом

а) \(x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\), поэтому \[ (x-1)^2(x+6)(x-2)<0. \] Квадрат \((x-1)^2\ge 0\), в точке \(x=1\) он равен нулю, а неравенство строгое — значит \(x\ne 1\). При \(x\ne1\) квадрат положителен, и нужен минус у произведения \((x+6)(x-2)\), то есть \(-6<x<2\). Исключаем единицу: \[ (-6;\,1)\cup(1;\,2). \]

б) \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\), получаем \[ (x+2)^2(x-8)>0. \] При \(x\ne-2\) квадрат положителен, поэтому нужен \(x-8>0\). Точка \(x=-2\) даёт нуль, а не положительное значение: \[ (8;\,+\infty). \]

в) \(x^2-10x+21=(x-3)(x-7)\), значит \[ (x+3)^2(x-3)(x-7)\ge 0. \] Нули: \(-3\) (чётная кратность — знак не меняется), \(3\), \(7\). Расстановка знаков: при \(x>7\) знак «+», на \((3;7)\) «−», на \((-3;3)\) «+», на \((-\infty;-3)\) «+». Берём промежутки со знаком «+» и добавляем нули (неравенство нестрогое): \[ (-\infty;\,3]\cup[7;\,+\infty). \]

г) \(x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\), тогда \[ (x-1)^2(x-6)\ge 0. \] Квадрат всегда неотрицателен, поэтому годится либо \(x=1\) (произведение равно нулю), либо \(x-6\ge0\): \[ \{1\}\cup[6;\,+\infty). \]

Проверка по контрольным точкам

• 39а: \(x=0\): \((-1)\cdot 8=-8<0\) ✔; \(x=2\): \(1\cdot 6>0\) — не входит ✔
• 39в: \(x=0\): \((-7)\cdot(-18)=126>0\) ✔; \(x=8\): \(1\cdot(-106)<0\) ✔
• 40а: \(x=0\): \(1\cdot(-12)<0\) ✔; \(x=1\): \(0\) — не подходит при строгом знаке ✔
• 40в: \(x=4\): \(49\cdot(-3)<0\) ✔; \(x=-3\): \(0\ge0\) ✔
• 40г: \(x=2\): \(1\cdot(-4)<0\) ✔; \(x=6\): \(25\cdot 0=0\) ✔