начертить график функции

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Построить график функции [неразборчиво]
$y=0{,}5x^{2}+x-4$
$a=0{,}5$, $b=1$, $c=-4$; $a>0$, ветви вверх

1. Вершина
$$x_{0}=-\frac{b}{2a};\quad x_{0}=-\frac{1}{2\cdot0{,}5}=-\frac{1}{1}=-1$$
$$y(-1)=0{,}5\cdot(-1)^{2}+(-1)-4=0{,}5-1-4=-4{,}5$$
$(-1;-4{,}5)$

2. с Оу: $(0;-4)$
с Ох, $0{,}5x^{2}+x-4=0$
$D=1-4\cdot0{,}5\cdot(-4)=1+8=9=3^{2}$
$$\frac{-1\pm3}{1}\rightarrow x_{1}=2\quad(2;0)$$
$$x_{2}=-4\quad(-4;0)$$

Answer

Краткий ответ

График функции $y=0{,}5x^{2}+x-4$ — парабола с ветвями вверх:

вершина $(-1;-4{,}5)$, ось симметрии $x=-1$;

точки пересечения с осями: $(0;-4)$, $(-4;0)$, $(2;0)$;

дополнительные точки: $(-2;-4)$, $(-3;-2{,}5)$, $(1;-2{,}5)$, $(-5;3{,}5)$, $(3;3{,}5)$.

Отметь эти точки и соедини их плавной линией — получится график. Вершина — самая низкая точка параболы.

Почему так

1. Общий вид. Это квадратичная функция $y=ax^{2}+bx+c$, где $a=0{,}5$, $b=1$, $c=-4$. Её график — парабола.

2. Направление ветвей. Знак $a$ показывает направление: при $a>0$ ветви идут вверх, при $a<0$ — вниз. Здесь $a=0{,}5>0$, значит, ветви вверх.

3. Вершина. Абсцисса вершины:
$$ x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot0{,}5}=-1. $$
Подставляем $x=-1$ в формулу:
$$ y(-1)=0{,}5\cdot(-1)^{2}+(-1)-4=0{,}5-1-4=-4{,}5. $$
Вершина $(-1;-4{,}5)$. Прямая $x=-1$ — ось симметрии.

4. Пересечения с осями. С осью $Oy$: при $x=0$ получаем $y=-4$, точка $(0;-4)$.
С осью $Ox$: решаем $0{,}5x^{2}+x-4=0$:
$$ D=1^{2}-4\cdot0{,}5\cdot(-4)=1+8=9, $$
$$ x=\frac{-1\pm3}{2\cdot0{,}5}=\frac{-1\pm3}{1}. $$
Корни: $x=-4$ и $x=2$, точки $(-4;0)$ и $(2;0)$.

5. Дополнительные точки. Парабола симметрична относительно $x=-1$, поэтому точки с $x=-1-t$ и $x=-1+t$ имеют одинаковые $y$. Берём пары: $x=0$ и $x=-2$; $x=1$ и $x=-3$; $x=3$ и $x=-5$. Считаем значения и заносим в таблицу:

$x$ |
$-5$ |
$-4$ |
$-3$ |
$-2$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |

$y$ |
$3{,}5$ |
$0$ |
$-2{,}5$ |
$-4$ |
$-4{,}5$ |
$-4$ |
$-2{,}5$ |
$0$ |
$3{,}5$ |

6. Построение. Поставь вершину, точки пересечения с осями и точки из таблицы. Соедини их плавной U-образной кривой; ветви продолжай вверх, не соединяй точки отрезками.

Проверка

Подстановка подтверждает точки: например, при $x=2$: $0{,}5\cdot4+2-4=0$; при $x=-3$: $0{,}5\cdot9-3-4=-2{,}5$. Вершина действительно минимальна, потому что
$$ y=0{,}5(x+1)^{2}-4{,}5\ge-4{,}5. $$
В тетради вершина и дискриминант найдены верно; корни уравнения — $2$ и $-4$, так что осталось перенести точки на график.