№3 В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM и LN пересекаются в точке E.

Ответ: а) \(12\); б) \(CD=\frac{5}{2}=2{,}5\).

Обозначим площади треугольников при точке \(E\): \[ S_1=[ABE],\quad S_2=[BCE],\quad S_3=[CDE],\quad S_4=[DAE]. \] Так как \(K,L,M,N\) — середины сторон, каждая из четырёх частей равна полусумме двух соседних треугольников: \[ [AKEN]=\frac{S_1+S_4}{2},\quad [BKEL]=\frac{S_1+S_2}{2}, \] \[ [CMEL]=\frac{S_2+S_3}{2},\quad [DNEM]=\frac{S_3+S_4}{2}. \]

По условию: \[ S_1+S_4=12,\qquad S_1+S_2=12,\qquad S_3+S_4=24. \] Тогда \[ [CMEL]=\frac{S_2+S_3}{2} =[BKEL]+[DNEM]-[AKEN]. \] То есть \[ [CMEL]=6+12-6=12. \]

Для пункта б) из первых двух равенств следует \[ S_2=S_4, \] то есть \([BCE]=[ADE]\).

Так как \(L\) — середина \(BC\), \([BCE]=2[LCE]\). Так как \(N\) — середина \(AD\), \([ADE]=2[NDE]\). Значит, \[ [LCE]=[NDE]. \] Точка \(E\) — середина \(LN\), поскольку \(KLMN\) — параллелограмм Вариньона. Поэтому \(EL=EN\). У треугольников \(LCE\) и \(NDE\) равны основания \(EL,EN\), значит, равны и высоты из \(C\) и \(D\) к прямой \(LN\). В выпуклом четырёхугольнике \(C\) и \(D\) лежат по одну сторону от \(LN\), поэтому \[ CD\parallel LN. \] Отсюда следует и \(AB\parallel CD\): если \(P=LN\cap BD\), то \(P\) — середина \(BD\), и \(NP\) — средняя линия треугольника \(ABD\), поэтому \(NP\parallel AB\).

Значит, \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AB\) и \(CD\), а \(LN\) — её средняя линия. Точка \(E\) лежит на средней линии, поэтому расстояние от \(E\) до каждой из прямых \(AB\) и \(CD\) равно \(\frac{h}{2}\), где \(h\) — высота трапеции.

Тогда \[ S_1=\frac{AB\cdot h}{4},\qquad S_3=\frac{CD\cdot h}{4}. \] Из \(S_1+S_4=12\) и \(S_3+S_4=24\): \[ S_3-S_1=12, \] то есть \[ \frac{(CD-AB)h}{4}=12. \tag{1} \] Площадь всей трапеции: \[ S_{ABCD}=6+6+12+12=36, \] с другой стороны, \[ S_{ABCD}=\frac{(AB+CD)h}{2}=36. \tag{2} \] Разделим (1) на (2): \[ \frac{CD-AB}{2(CD+AB)}=\frac{12}{36}=\frac13, \] \[ \frac{CD-AB}{CD+AB}=\frac23. \] При \(AB=\frac12\): \[ 3\left(CD-\frac12\right)=2\left(CD+\frac12\right), \] \[ 3CD-\frac32=2CD+1, \] \[ CD=\frac52=2{,}5. \]