реши задачу с рисунком номер 485

Question

Расшифровка фото нейросетью:
485 Докажите признак средней линии треугольника. Через середину $M$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Докажите, что $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.
[Рисунок справа обрезан: видны фрагмент треугольника и обозначения $M$ и $A$.]

Answer

Проведём через $C$ прямую $CD\parallel AB$, где $D$ — точка её пересечения с прямой $MN$.

Так как $MB\parallel CD$ и $MD\parallel BC$, то $MBCD$ — параллелограмм, поэтому
$$
CD=MB.
$$
Но $M$ — середина $AB$, значит $AM=MB$, следовательно,
$$
AM=CD.
$$
При этом $AM\parallel CD$, поэтому $AMCD$ — параллелограмм. Его диагонали $AC$ и $MD$ пересекаются в точке $N$ и делятся ею пополам:
$$
AN=NC.
$$
Значит, $N$ — середина $AC$. Так как $M$ — середина $AB$, а $MN\parallel BC$, отрезок $MN$ является средней линией $\triangle ABC$.