реши 158,160,161

Кратко:

• 158: \(\frac{1}{225}\approx 0{,}0044\)
• 160: а) \(0{,}271\); б) \(0{,}488\); в) \(0{,}657\); г) \(0{,}784\)
• 161: а) \(\frac{1}{10!}\); б) \(\frac{1}{10!}\), то есть \(\frac{1}{3\,628\,800}\)

158

Всего трёхзначных номеров \(900\) — от \(100\) до \(999\).

Цифры \(0,4,5\) можно расставить \(3!=6\) способами, но варианты \(045\) и \(054\) не являются трёхзначными номерами. Остаются \(4\) подходящих номера: \[ 405,\ 450,\ 504,\ 540. \] Значит, \[ P=\frac{4}{900}=\frac{1}{225}\approx 0{,}0044. \]

160

Последние три цифры телефонного номера образуют тройку. Каждая цифра может быть любой из \(10\), поэтому всего \[ 10^3=1000 \] равновозможных троек.

Удобно считать вероятность противоположного события.

а) Нет цифры \(7\): каждая цифра выбирается из \(9\) вариантов. \[ P=1-\frac{9^3}{1000}=1-\frac{729}{1000}=\frac{271}{1000}=0{,}271. \]

б) Нет ни \(2\), ни \(3\): остаётся \(8\) цифр. \[ P=1-\frac{8^3}{1000}=1-\frac{512}{1000}=\frac{488}{1000}=0{,}488. \]

в) Нет ни одной из цифр \(4,0,1\): остаётся \(7\) цифр. \[ P=1-\frac{7^3}{1000}=1-\frac{343}{1000}=\frac{657}{1000}=0{,}657. \]

г) Нет ни одной из цифр \(1,2,4,9\): остаётся \(6\) цифр. \[ P=1-\frac{6^3}{1000}=1-\frac{216}{1000}=\frac{784}{1000}=0{,}784. \]

161

Всего возможных порядков входа десяти школьников: \[ 10! \] Все порядки равновозможны.

а) Алфавитный порядок — ровно один из всех порядков: \[ P=\frac{1}{10!}. \]

б) Обратный алфавитному порядок — тоже ровно один: \[ P=\frac{1}{10!}. \]

Так как \[ 10!=3\,628\,800, \] получаем \[ P=\frac{1}{3\,628\,800}\approx 2{,}76\cdot 10^{-7}. \]

Проверка: в 160 вероятность события и его противоположного в каждом пункте даёт в сумме \(1\); в 161 число всех возможных списков фамилий равно \(10!\).