Определить силу S в стержне 1 (2) шарнирно-стержневой системы

Краткий ответ

Если в варианте нужен стержень 1: \[ S_1=\frac{F}{2} \] — стержень растянут.

Если нужен стержень 2: \[ |S_2|=\frac{\sqrt3}{2}F\approx 0{,}866F \] — стержень сжат. При знаке «плюс» за растяжение: \[ S_2=-\frac{\sqrt3}{2}F. \]

Как получить

Стержни шарнирные, нагрузка приложена только в узле, поэтому каждый стержень работает на растяжение-сжатие, а сила направлена вдоль стержня.

Рассматриваем равновесие правого узла. Ось \(x\) — вправо, \(y\) — вверх. Считаем \(S_1\) и \(S_2\) положительными при растяжении.

Стержень 1 наклонён к вертикали на \(60^\circ\), стержень 2 — на \(30^\circ\). Тогда:

\[ \begin{cases} -S_1\sin60^\circ-S_2\sin30^\circ=0,\\[4pt] S_1\cos60^\circ-S_2\cos30^\circ-F=0. \end{cases} \]

Из первого уравнения: \[ S_2=-\sqrt3\,S_1. \]

Подставляем во второе: \[ \frac{S_1}{2}-\left(-\sqrt3 S_1\right)\frac{\sqrt3}{2}=F, \] \[ \frac{S_1}{2}+\frac{3S_1}{2}=F, \] \[ 2S_1=F,\qquad S_1=\frac{F}{2}. \]

Тогда: \[ S_2=-\sqrt3\cdot\frac{F}{2} =-\frac{\sqrt3}{2}F. \]

Проверка

Горизонтальные проекции: \[ \frac{F}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3 F}{2}\cdot\frac12, \] то есть взаимно уравновешиваются.

Вертикальные проекции: \[ \frac{F}{2}\cdot\frac12+ \frac{\sqrt3 F}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{F}{4}+\frac{3F}{4}=F. \]

Подтверждается: стержень 1 растянут силой \(F/2\), стержень 2 сжат силой \(\frac{\sqrt3}{2}F\).