93в г 94а,б 95а
Сверь числа и знаки с фото.
- Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком (рис. 57). Рис. 57. в) [Рисунок: координатная сетка; на оси Ox подписи −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6; на оси Oy — 2 и −2; график — плавная кривая, начинающаяся на оси Ox при x=−6, проходящая через начало координат, заканчивающаяся на оси Ox при x=6; максимум около (−3,5; 2), минимум около (3,5; −2)]. г) [Рисунок: координатная сетка; на оси Ox подписи −5, −3, 0, 3, 5, 7; на оси Oy — 3, 1, −3; график — ломаная с вершинами примерно (−5; 1), (−3; −3), (0; 1), (3; −3), (7; 3)].
- Постройте график функции f, если известны её свойства (см. таблицу): Свойство функции | a) | б)
- Область определения | [−6; 6] | [−5; 4] Область значений | [−2; 5] | [0; 6]
- Точки пересечения графика: а) с осью Ox | A(−4; 0), B(−2; 0) | O(0; 0) б) с осью Oy | C(0; 2,5) | ___
Свойство функции | a) | б) 3. Промежутки знакопостоянства: а) \(f(x)>0\): [-6; -4), (-2; 6] | [-5; 0), (0; 4]; б) \(f(x)<0\): (-4; -2) | —. 4. Промежутки: а) возрастания: [-3; 1], [4; 6] | [-5; -2], [0; 4]; б) убывания: [-6; -3], [1; 4] | [-2; 0]. 5. Точки максимума, максимум функции: 1, \(f(1)=3\) | −2, \(f(-2)=2\). Точки минимума, минимум функции: −3, \(f(-3)=-2\); 4, \(f(4)=1\) | 0, \(f(0)=0\). 6. Дополнительные точки графика: \(f(-6)=3\), \(f(6)=5\) | \(f(-5)=0,5\); \(f(4)=6\). Проведите по общей схеме исследование каждой из функций и постройте ее график (95—97). 95. a) \(f(x)=5-2x\);
Кратко: 93в — нули \(-6,0,6\), максимум \(2\), минимум \(-2\); 93г — ломаная с вершинами \((-5;1)\), \((-3;-3)\), \((0;1)\), \((3;-3)\), \((7;3)\); 94а и 94б строятся по точкам из таблицы; 95а — прямая \(f(x)=5-2x\).
93 в)
По видимой сетке:
\[ D(f)=[-6;6],\qquad E(f)=[-2;2]. \]
- Нули: \(x=-6,\ 0,\ 6\); \(f(0)=0\).
- \(f(x)>0\) при \(x\in(-6;0)\); \(f(x)<0\) при \(x\in(0;6)\).
- Возрастает примерно на \([-6;-3{,}5]\) и \([3{,}5;6]\).
- Убывает примерно на \([-3{,}5;3{,}5]\).
- Максимум \(f_{\max}=2\) около \(x=-3{,}5\).
- Минимум \(f_{\min}=-2\) около \(x=3{,}5\).
93 г)
Это ломаная. По сетке её вершины:
\[ (-5;1),\quad (-3;-3),\quad (0;1),\quad (3;-3),\quad (7;3). \]
Тогда:
\[ D(f)=[-5;7],\qquad E(f)=[-3;3]. \]
- Нули примерно: \[ x=-\frac92,\quad x=-\frac34,\quad x=\frac34,\quad x=5. \]
- \(f(0)=1\), то есть точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;1)\).
- \(f(x)>0\) на \(\left[-5;-\frac92\right)\cup\left(-\frac34;\frac34\right)\cup(5;7]\).
- \(f(x)<0\) на \(\left(-\frac92;-\frac34\right)\cup\left(\frac34;5\right)\).
- Убывает на \([-5;-3]\) и \([0;3]\).
- Возрастает на \([-3;0]\) и \([3;7]\).
- Локальный максимум: \(f(0)=1\).
- Локальные минимумы: \(f(-3)=f(3)=-3\).
- Наибольшее значение \(3\) при \(x=7\), наименьшее \(-3\).
94 а)
Нужно отметить точки и соединить их плавной кривой в таком порядке:
\[ (-6;3)\to(-4;0)\to(-3;-2)\to(-2;0)\to(0;2{,}5)\to(1;3)\to(4;1)\to(6;5). \]
Порядок поведения:
- от \(x=-6\) до \(x=-3\) функция убывает;
- в точке \((-3;-2)\) — минимум;
- от \(x=-3\) до \(x=1\) возрастает, в точке \((1;3)\) — максимум;
- от \(x=1\) до \(x=4\) убывает, в точке \((4;1)\) — минимум;
- от \(x=4\) до \(x=6\) возрастает.
График не единственный: важно, чтобы выполнялись все указанные в таблице свойства.
94 б)
Отмечаем:
\[ (-5;0{,}5),\quad (-2;2),\quad (0;0),\quad (4;6). \]
- На \([-5;-2]\) функция возрастает от \(0{,}5\) до \(2\).
- На \([-2;0]\) убывает до \(0\).
- В точке \((0;0)\) — минимум, график касается оси \(Ox\).
- На \([0;4]\) возрастает до \(6\).
- Вся область значений \([0;6]\), поэтому ниже оси \(Ox\) график не опускается.
95 а)
\[ f(x)=5-2x. \]
- Область определения: \[ D(f)=\mathbb R. \]
- Область значений: \[ E(f)=\mathbb R. \]
- Нуль функции: \[ 5-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=2{,}5. \]
- Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;5)\).
- \(f(x)>0\) при \(x<2{,}5\); \(f(x)<0\) при \(x>2{,}5\).
- Функция убывает на всей области определения, так как коэффициент при \(x\) равен \(-2<0\).
- Экстремумов нет.
Для построения графика достаточно двух точек:
\[ (0;5),\qquad (2{,}5;0). \]
Дополнительно можно взять \((1;3)\) и \((3;-1)\). Получится прямая с угловым коэффициентом \(-2\).
Что важно понять: по графику область определения читается по оси \(Ox\), область значений — по оси \(Oy\); нули — это пересечения с \(Ox\); выше оси график даёт \(f(x)>0\), ниже — \(f(x)<0\). В задании 94 таблица задаёт «каркас» графика: отмечаем характерные точки и соединяем их плавно с нужным возрастанием и убыванием.
Обсуждение
2 сообщения93в
По графику:
- \(D(f)=[-6;6]\), \(E(f)=[-2;2]\);
- нули: \(x=-6,\,-2,\,2,\,6\);
- \(f(x)>0\) при \(x\in(-6;-2)\cup(2;6)\);
- \(f(x)<0\) при \(x\in(-2;2)\);
- возрастает на \([-6;-4]\) и \([0;4]\);
- убывает на \([-4;0]\) и \([4;6]\);
- максимумы: \(f(-4)=2,\ f(4)=2\);
- минимум: \(f(0)=-2\).
93г
- \(D(f)=[-5;7]\), \(E(f)=[-3;3]\);
- нули: \(x=-5,\,0,\,5\);
- \(f(x)>0\) при \(x\in(-5;0)\cup(5;7]\);
- \(f(x)<0\) при \(x\in(0;5)\);
- возрастает на \([-5;-3]\) и \([3;7]\);
- убывает на \([-3;3]\);
- максимум: \(f(-3)=3\);
- минимум: \(f(3)=-3\).
94а
График не единственный; главное — выполнить данные свойства. Удобно взять опорные точки:
\[ (-6;3),\ (-4;0),\ (-3;-2),\ (-2;0),\ (0;2{,}5),\ (1;3),\ (4;1),\ (6;5). \]
Соедините их плавной линией. Тогда:
- область определения \([-6;6]\), область значений \([-2;5]\);
- нули в точках \(x=-4\) и \(x=-2\);
- пересечение с \(Oy\) — \((0;2{,}5)\);
- максимум при \(x=1\): \(f(1)=3\);
- минимумы при \(x=-3\) и \(x=4\): \(f(-3)=-2,\ f(4)=1\).
94б
Берём точки:
\[ (-5;0{,}5),\ (-2;2),\ (0;0),\ (4;6). \]
Соединяем плавной линией. Получаем:
- \(D(f)=[-5;4]\), \(E(f)=[0;6]\);
- единственный нуль — \((0;0)\);
- \(f(x)>0\) при \(x\in[-5;0)\cup(0;4]\);
- возрастает на \([-5;-2]\) и \([0;4]\);
- убывает на \([-2;0]\);
- максимум \(f(-2)=2\), минимум \(f(0)=0\).
95а
\[ f(x)=5-2x \]
Область определения и область значений: \[ D(f)=\mathbb R,\qquad E(f)=\mathbb R. \]
Нуль функции: \[ 5-2x=0 \Rightarrow x=2{,}5. \] Точка пересечения с осью \(Ox\): \((2{,}5;0)\).
С осью \(Oy\): \((0;5)\).Промежутки знакопостоянства: \[ f(x)>0 \text{ при } x<2{,}5, \] \[ f(x)<0 \text{ при } x>2{,}5. \]
Так как угловой коэффициент \(k=-2<0\), функция убывает на всей области определения: \[ f(x)\downarrow \text{ на } (-\infty;+\infty). \]
Точек максимума и минимума нет.
График — прямая. Для построения достаточно двух точек: \[ (0;5)\quad \text{и}\quad (2{,}5;0). \] Можно добавить контрольные точки: \[ (1;3),\qquad (3;-1). \]
Прямая проходит через эти точки и идёт вниз слева направо.
