Кратко:
Берёза — берёзка, березняк, подберёзовик.
По значениям:
- а) маленькая берёза — берёзка;
- б) часть леса, где растут берёзы, — березняк;
- в) гриб, растущий под берёзой, — подберёзовик.
Как понять: у всех этих слов общий корень и общий смысл — они связаны с берёзой. Поэтому это однокоренные слова. А вот «берёзы», «берёзу» — не однокоренные слова, а формы одного слова: меняется только окончание.
Проверка: берёзка — маленькая берёза; березняк — место, где растут берёзы; подберёзовик — гриб под берёзой. В словах «берёзка» и «подберёзовик» пишется ё, в слове «березняк» — е.