реши номера с 261 по 268
Сверь числа и знаки с фото.
Задачи 261 В группе детского сада 11 мальчиков и 8 девочек. Сколько можно составить пар «мальчик — девочка»? 262 В множестве \(A\) восемь элементов, а в множестве \(B\) пять элементов. Сколько можно составить пар вида \((a, b)\), где \(a \in A\) и \(b \in B\)? 263 Игральная кость имеет форму правильного двенадцатигранника. Грани пронумерованы числами от 1 до 12. Эту кость бросают 2 раза. Сколько существует различных результатов? Считайте, что пары выпавших чисел упорядочены: например, сначала 8, а затем 12 и сначала 12, а затем 8 — это разные результаты. 264 Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые начинаются не с цифры 9 и при этом делятся на 5? 265 Сколько существует натуральных четырёхзначных чисел, которые составлены только из: а) чётных цифр; б) нечётных цифр? 266 Сколько диагоналей: а) у 15-угольника; б) у 20-угольника? 267 Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается в обе стороны. Например, числа 343 и 89 398 — палиндромы. Сколько существует: а) трёхзначных чисел-палиндромов; б) четырёхзначных чисел-палиндромов; в) семизначных палиндромов; г) восьмизначных палиндромов? 268 Четыре подруги отправляли друг другу новогодние открытки: каждая отправила по одной трём другим. Сколько всего открыток было отправлено?
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 261 | 88 пар |
| 262 | 40 пар |
| 263 | 144 результата |
| 264 | 160 чисел |
| 265 | а) 500; б) 625 |
| 266 | а) 90; б) 170 |
| 267 | а) 90; б) 90; в) 9000; г) 9000 |
| 268 | 12 открыток |
Главная идея — правило умножения
Если выбор делается по шагам и на каждом шаге число вариантов не зависит от предыдущих выборов, то всего вариантов
\[ n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k. \]
Почти все задачи 261–268 — на это правило. Есть два типичных усложнения: у многозначного числа первая цифра не может быть нулём; а если пары неупорядоченные (как диагонали), произведение надо разделить на 2.
261. Шаг 1 — выбрать мальчика (11 способов), шаг 2 — девочку (8 способов). Каждая пара получается ровно одним способом:
\[ 11\cdot 8=88. \]
262. То же самое, только на языке множеств: пары \((a,b)\) — это элементы декартова произведения \(A\times B\), поэтому
\[ 8\cdot 5=40. \]
263. Два броска — два независимых шага по 12 исходов:
\[ 12\cdot 12=144. \]
Порядок важен по условию, поэтому \((8;12)\) и \((12;8)\) — разные результаты, а пары с одинаковыми числами, например \((7;7)\), тоже входят.
264. Разбираем по разрядам:
- первая цифра: 1–8, то есть 8 вариантов (0 нельзя, 9 запрещена условием);
- вторая цифра: 0–9, то есть 10 вариантов;
- последняя цифра: 0 или 5, то есть 2 варианта (признак делимости на 5).
\[ 8\cdot 10\cdot 2=160. \]
Проверка: трёхзначных чисел, кратных 5, всего 180 (от 100 до 995); начинающихся с 9 среди них 20 (900, 905, …, 995), значит \(180-20=160\).
265. а) Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8 — пять штук. На первом месте 0 стоять не может, поэтому там 4 варианта, а на остальных трёх местах — по 5:
\[ 4\cdot 5\cdot 5\cdot 5=500. \]
б) Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9 — все пять годятся и на первое место:
\[ 5^4=625. \]
266. Из каждой вершины \(n\)-угольника диагональ идёт во все вершины, кроме самой этой и двух соседних: \(n-3\) вариантов. Каждая диагональ соединяет две вершины, поэтому при таком подсчёте она посчитана дважды:
\[ \frac{n(n-3)}{2}. \]
а) \(\frac{15\cdot 12}{2}=90\); б) \(\frac{20\cdot 17}{2}=170\).
Проверка на четырёхугольнике: \(\frac{4\cdot 1}{2}=2\) диагонали — верно.
267. Палиндром полностью задаётся своей первой половиной — вторая восстанавливается сама. Считаем только свободные «первые» цифры, помня, что первая не 0. а) \(aba\): \(a\) — 9 вариантов (1–9), \(b\) — 10, итого \(9\cdot 10=90\). б) \(abba\): \(a\) — 9, \(b\) — 10, итого \(9\cdot 10=90\). в) \(abcdcba\): \(a\) — 9, \(b,c,d\) — по 10, итого \(9\cdot 10^3=9000\). г) \(abcddcba\): \(a\) — 9, \(b,c,d\) — по 10, итого \(9\cdot 10^3=9000\).
Ответы в) и г) совпадают не случайно: в обоих случаях свободны четыре первые цифры, и только первая не может быть нулём.
268. Каждая из 4 подруг отправила по 3 открытки:
\[ 4\cdot 3=12. \]
Делить на 2 не нужно: пара «кто отправил — кому» упорядочена, открытки «1 → 2» и «2 → 1» разные.
Что запомнить. Правило умножения считает упорядоченные выборы; если объект при подсчёте учитывается дважды (диагонали), делим на 2; у числа первая цифра не 0; палиндром задаётся половиной цифр.
