sin2x+2√2sin(x+π/4)+1=0;

Кратко. Уравнение сводится к \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \] Корни на отрезке пока отобрать нельзя: на фото правая часть условия с отрезком обрезана. Не хватает самого отрезка.

Как решается

Используем формулы: \[ \sin 2x=2\sin x\cos x, \] \[ 2\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =2(\sin x+\cos x). \]

Тогда уравнение принимает вид: \[ 2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)+1=0. \]

Обозначим \[ t=\sin x+\cos x. \] Так как \[ t^2=1+2\sin x\cos x, \] то \[ 2\sin x\cos x=t^2-1. \]

Подставляем: \[ t^2-1+2t+1=0, \] \[ t^2+2t=0, \] \[ t(t+2)=0. \]

Значит, возможны два случая:

1. \(\sin x+\cos x=-2\). Это невозможно, потому что \[ -\sqrt2\le \sin x+\cos x\le \sqrt2. \]

2. \(\sin x+\cos x=0\). Тогда \[ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0, \] \[ x+\frac{\pi}{4}=\pi k, \] \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Проверка. При \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\): \[ \sin 2x=-1,\qquad \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin(\pi k)=0, \] поэтому \[ -1+0+1=0. \] Всё верно.

Для отбора корней на отрезке \([a;b]\) нужно решить неравенство \[ a\le -\frac{\pi}{4}+\pi k\le b \] и выбрать целые \(k\).

Какой отрезок указан в правой части условия? На фото он обрезан.