разложи на множетели

Краткий ответ

1. \(4x^2+x-33=(4x-11)(x+3)\)
2. \(y^2-10y+24=(y-4)(y-6)\)
3. \(16x^2-8x+1=(4x-1)^2\)
4. \(y^2-10y+25=(y-5)^2\)

Как это делается

Главная идея. Квадратный трёхчлен раскладывается через свои корни:

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Значит, нужно найти \(x_1\) и \(x_2\) — по дискриминанту или по теореме Виета, а потом не забыть про коэффициент \(a\).

1) \(4x^2+x-33\). Здесь \(a=4\), поэтому Виета даёт неудобные дроби — беру дискриминант:

\[D=1^2-4\cdot 4\cdot(-33)=1+528=529=23^2\]

\[x_{1,2}=\frac{-1\pm 23}{8},\qquad x_1=\frac{22}{8}=\frac{11}{4},\quad x_2=-\frac{24}{8}=-3\]

\[4x^2+x-33=4\left(x-\frac{11}{4}\right)(x+3)=(4x-11)(x+3)\]

Множитель 4 «заношу» в первую скобку: \(4\left(x-\frac{11}{4}\right)=4x-11\) — так дробь исчезает.

2) \(y^2-10y+24\). Коэффициент при \(y^2\) равен 1, корни целые — Виет:

\[y_1+y_2=10,\qquad y_1y_2=24\ \Rightarrow\ y_1=4,\ y_2=6\]

\[y^2-10y+24=(y-4)(y-6)\]

3) \(16x^2-8x+1\). Дискриминант тут не нужен: видна формула квадрата разности \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\).

\[16x^2=(4x)^2,\qquad 1=1^2,\qquad 8x=2\cdot 4x\cdot 1\]

\[16x^2-8x+1=(4x-1)^2\]

4) \(y^2-10y+25\). Тот же приём:

\[y^2-10y+25=(y-5)^2\]

Проверка (раскрываю скобки обратно):

• \((4x-11)(x+3)=4x^2+12x-11x-33=4x^2+x-33\) ✔
• \((y-4)(y-6)=y^2-6y-4y+24=y^2-10y+24\) ✔
• \((4x-1)^2=16x^2-8x+1\) ✔
• \((y-5)^2=y^2-10y+25\) ✔

Что запомнить для похожих заданий: сначала смотри, не является ли трёхчлен полным квадратом \((a\pm b)^2\); если нет — ищи корни (Виет при \(a=1\), дискриминант при \(a\neq 1\)) и выноси коэффициент \(a\) вперёд.