120, 121

Кратко

120.
а) \(\left(-7;-\frac14\right)\);
б) \(\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right)\);
в) \(\mathbb R\);
г) \(\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup\left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)\).

121.
а) \((-\infty;-1)\cup\left(\frac92;+\infty\right)\);
б) \(\left(-\infty;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)\).

Как понять принцип

Все такие неравенства сводят к виду \[ ax^2+bx+c>0 \quad \text{или} \quad ax^2+bx+c<0. \] Переносим всё в одну сторону, приводим подобные. Затем находим корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) и смотрим на параболу.

Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх:

• выражение \(<0\) между корнями;
• выражение \(>0\) — вне корней;
• при знаке \(\ge\) или \(\le\) концы включаются, при строгом знаке — выколоты.

По пунктам

120 а) \[ 3x^2+40x+10<-x^2+11x+3 \] \[ 4x^2+29x+7<0. \] \[ D=29^2-4\cdot4\cdot7=729=27^2, \] корни: \[ x_1=-7,\qquad x_2=-\frac14. \] Ветви вверх, знак \(<0\), значит берём между корнями: \[ \boxed{\left(-7;-\frac14\right)}. \]

120 б) \[ 9x^2-x+9\ge 3x^2+18x-6 \] \[ 6x^2-19x+15\ge0. \] \[ D=1, \] корни: \[ x_1=\frac32,\qquad x_2=\frac53. \] Ветви вверх, знак \(\ge0\), значит берём вне корней, концы включаем: \[ \boxed{\left(-\infty;\frac32\right]\cup\left[\frac53;+\infty\right)}. \]

120 в) \[ (3x-5)(2x+6)=6x^2+8x-30. \] Тогда \[ 2x^2+8x-111<6x^2+8x-30 \] \[ 0<4x^2+81. \] Но \(4x^2\ge0\), поэтому \(4x^2+81>0\) при любом \(x\). Значит: \[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]

120 г) \[ (5x+1)(3x-1)=15x^2-2x-1, \] \[ (4x-1)(x+2)=4x^2+7x-2. \] Неравенство: \[ 15x^2-2x-1>4x^2+7x-2 \] \[ 11x^2-9x+1>0. \] \[ D=(-9)^2-4\cdot11\cdot1=37, \] корни: \[ x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{37}}{22}. \] Ветви вверх, знак \(>0\), значит вне корней: \[ \boxed{\left(-\infty;\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup\left(\frac{9+\sqrt{37}}{22};+\infty\right)}. \]

121 а) \[ 2x(3x-1)>4x^2+5x+9 \] \[ 6x^2-2x>4x^2+5x+9 \] \[ 2x^2-7x-9>0. \] \[ D=49+72=121, \] корни: \[ x_1=-1,\qquad x_2=\frac92. \] Ветви вверх, знак \(>0\): \[ \boxed{(-\infty;-1)\cup\left(\frac92;+\infty\right)}. \]

121 б) \[ (5x+7)(x-2)=5x^2-3x-14. \] \[ 5x^2-3x-14<21x^2-11x-13 \] \[ 0<16x^2-8x+1 \] \[ (4x-1)^2>0. \] Квадрат больше нуля при всех \(x\), кроме случая \[ 4x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac14. \] Поэтому: \[ \boxed{\left(-\infty;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)}. \]

Проверка: в строгих неравенствах корни выколоты, в нестрогом 120 б) точки \(\frac32\) и \(\frac53\) включены. В 121 б) при \(x=\frac14\) обе части равны, поэтому эта точка не входит.