Этот струнный музыкальный инструмент считается одним из символов русской народной музыки. Свой современный облик он приобрёл в конце XIX века

Краткий ответ: А — балалайка.

Как прийти к ответу

1. «Струнный» — отсекаем лишнее. Жалейка (вариант В) — это духовой инструмент, поэтому она не подходит ещё до разговора о истории.
2. «Символ русской народной музыки» — скрипка (вариант Б) тоже струнная, но это академический инструмент, пришедший из Европы, а не народный символ. Балалайка же традиционно воспринимается именно так.
3. Главная подсказка — имя. Василий Васильевич Андреев в конце XIX века вместе с мастерами (Ф. Пасербским, С. Налимовым) усовершенствовал балалайку: сделал хроматический лад, единые размеры и форму, создал семейство инструментов — приму, секунду, альт, бас, контрабас. В 1888 году появился «Кружок любителей игры на балалайке», а позже — Великорусский оркестр. Именно поэтому в условии сказано, что инструмент «приобрёл современный облик в конце XIX века благодаря Андрееву».

Проверка

• Струнный? Да, балалайка — щипковый струнный инструмент.
• Связан с Андреевым? Да, это его главное дело.
• Народный символ? Да.

Все три признака условия сходятся на варианте А.