реши и поясни

Краткий ответ: \(y=4\).

Решение:

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом существует: \[ 9y^4-1\ne0. \] Так как \[ 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1), \] то \[ y\ne \pm\frac{1}{\sqrt3}. \]

2. Раскладываем числитель группировкой: \[ 3y^3-12y^2-y+4=3y^2(y-4)-(y-4)=(y-4)(3y^2-1). \]

3. В знаменателе уже есть разложение: \[ 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1). \]

4. При \(y\ne\pm\frac{1}{\sqrt3}\) можно сократить общий множитель \(3y^2-1\): \[ \frac{(y-4)(3y^2-1)}{(3y^2-1)(3y^2+1)} =\frac{y-4}{3y^2+1}. \] Получаем: \[ \frac{y-4}{3y^2+1}=0. \] Знаменатель \(3y^2+1\) всегда положителен, поэтому: \[ y-4=0 \quad\Rightarrow\quad y=4. \]

Почему корни \(y=\pm\frac{1}{\sqrt3}\) не подходят: при них знаменатель исходной дроби равен нулю, то есть получается \(0/0\). Это посторонние корни, которые появляются, если приравнять к нулю только числитель. На фото разложение числителя верное, но проверку знаменателя нужно добавить.

Проверка при \(y=4\): \[ 3\cdot4^3-12\cdot4^2-4+4=192-192=0, \] \[ 9\cdot4^4-1=9\cdot256-1=2303\ne0. \] Значит, \(\frac{0}{2303}=0\).

Ответ: \(y=4\).