245. Решите уравнение: а) x² + 1/x² − 1/2(x − 1/x) = 3 1/2; б) x² + 1/x² − 1/3(x + 1/x) = 8.

На фото полностью видно №245 — я разобрал оба пункта. ОДЗ: \(x\ne0\).

Краткий ответ:

• а) \(x=2\), \(x=-\frac{1}{2}\), \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\);
• б) \(x=3\), \(x=\frac{1}{3}\), \(x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\).

Ключевая идея. В уравнениях есть \(x^2+\frac{1}{x^2}\) и выражения \(x-\frac{1}{x}\) или \(x+\frac{1}{x}\). Если обозначить такое выражение через \(t\), то: \[ \left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2+\frac{1}{x^2},\qquad \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}. \] Поэтому \(x^2+\frac{1}{x^2}\) легко выражается через \(t^2\). После замены получается квадратное уравнение сначала относительно \(t\), а потом относительно \(x\).

а) \(x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)=3\frac{1}{2}\)

Пусть \[ t=x-\frac{1}{x}. \] Тогда \(x^2+\frac{1}{x^2}=t^2+2\), и уравнение принимает вид: \[ t^2+2-\frac{1}{2}t=\frac{7}{2}. \] Умножим на 2: \[ 2t^2-t-3=0. \] Корни: \[ t=\frac{3}{2}\quad\text{или}\quad t=-1. \]

Возвращаемся к \(x\):

1. \(x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\). После умножения на \(2x\): \[ 2x^2-3x-2=0, \] откуда \[ x=2\quad\text{или}\quad x=-\frac{1}{2}. \]

2. \(x-\frac{1}{x}=-1\): \[ x^2+x-1=0, \] откуда \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}. \]

б) \(x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{x}\right)=8\)

Пусть \[ t=x+\frac{1}{x}. \] Тогда \(x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2\), поэтому: \[ t^2-2-\frac{1}{3}t=8. \] Умножим на 3: \[ 3t^2-t-30=0. \] Корни: \[ t=\frac{10}{3}\quad\text{или}\quad t=-3. \] Оба значения подходят, поскольку для \(t=x+\frac{1}{x}\) должно выполняться \(|t|\ge2\).

Возвращаемся к \(x\):

1. \(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}\): \[ 3x^2-10x+3=0, \] откуда \[ x=3\quad\text{или}\quad x=\frac{1}{3}. \]

2. \(x+\frac{1}{x}=-3\): \[ x^2+3x+1=0, \] откуда \[ x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}. \]

Проверка. Для а) при \(x=2\): \[ 4+\frac14-\frac12\left(2-\frac12\right)=\frac{17}{4}-\frac34=\frac{14}{4}=\frac72=3\frac12. \] Для б) при \(x=3\): \[ 9+\frac19-\frac13\left(3+\frac13\right)=\frac{82}{9}-\frac{10}{9}=\frac{72}{9}=8. \] Значит, корни найдены верно.

Главное в таких заданиях — заметить пару \(x^2+\frac{1}{x^2}\) и \(x\pm\frac{1}{x}\) и ввести замену. Тогда уравнение четвёртой степени сводится к квадратному.