реши все задачи с 3 по 22

Ниже — ответы ко всем пунктам 3–22. В доказательствах вершины четырёхугольника \(ABCD\) идут по порядку.

3. Сумма равна \(360^\circ\).
Пусть у \(n\)-угольника внутренние углы \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\). Внешний угол при \(i\)-й вершине равен \(180^\circ-\alpha_i\). Тогда \[ \sum_{i=1}^{n}(180^\circ-\alpha_i) =180^\circ n-\sum_{i=1}^{n}\alpha_i =180^\circ n-180^\circ(n-2) =360^\circ. \]

4. Например, построй \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(5;3)\), \(D(1;3)\) и соедини точки по порядку.
Диагонали: \(AC\) и \(BD\).
Противоположные стороны: \(AB\) и \(CD\), \(BC\) и \(AD\).
Противоположные вершины: \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\).

5. \(360^\circ\), так как \[ 180^\circ(4-2)=360^\circ. \] Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника.

6. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Да, параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

7. Проведём диагональ \(AC\). При \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\): \[ \angle BAC=\angle DCA,\qquad \angle BCA=\angle DAC \] как накрест лежащие. Сторона \(AC\) общая, поэтому \[ \triangle ABC\cong\triangle CDA \] по стороне и двум прилежащим углам. Значит, \[ AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle B=\angle D. \] Углы \(A\) и \(C\) состоят из попарно равных частей, поэтому \(\angle A=\angle C\).

8. Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
В треугольниках \(AOB\) и \(COD\): \[ AB=CD,\qquad \angle OAB=\angle OCD,\qquad \angle OBA=\angle ODC. \] Треугольники равны, поэтому \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \] То есть диагонали точкой пересечения делятся пополам.

9. Основные признаки параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
   Пусть \(AB=CD\), \(BC=AD\). Диагональ \(AC\) общая, поэтому \(\triangle ABC\cong\triangle CDA\) по трём сторонам. Отсюда \(\angle BAC=\angle DCA\), значит \(AB\parallel CD\), и \(\angle BCA=\angle DAC\), значит \(BC\parallel AD\).

2. Если две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
   Пусть \(AB=CD\) и \(AB\parallel CD\). Тогда \(AB=CD\), \(AC\) общая, \(\angle BAC=\angle DCA\). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(BC=AD\) и \(BC\parallel AD\).

3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то это параллелограмм.
   Пусть \(AO=OC\), \(BO=OD\). Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, поэтому \(\triangle AOB\cong\triangle COD\). Тогда \(AB=CD\) и \(AB\parallel CD\). По предыдущему признаку четырёхугольник — параллелограмм.

10. Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями, две другие — боковыми сторонами.

11. Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

12. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Эквивалентно: четырёхугольник с четырьмя прямыми углами.

13. В прямоугольнике \(ABCD\): \[ AB=CD,\qquad AD\text{ — общая},\qquad \angle BAD=\angle CDA=90^\circ. \] Значит, \(\triangle ABD\cong\triangle DCA\) по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \[ BD=AC. \] Диагонали прямоугольника равны.

14. Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагонали равны: \(AC=BD\).
Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(DCA\): \[ AB=CD,\qquad AD\text{ — общая},\qquad BD=AC. \] Они равны по трём сторонам, поэтому \[ \angle BAD=\angle CDA. \] Но при \(AB\parallel CD\) эти углы односторонние: \[ \angle BAD+\angle CDA=180^\circ. \] Равные углы с суммой \(180^\circ\) равны по \(90^\circ\). Значит, все углы параллелограмма прямые, то есть это прямоугольник.

15. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

16. Пусть \(ABCD\) — ромб, \(O\) — точка пересечения диагоналей.
В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому \(BO=OD\). В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB=BC\), значит, треугольник равнобедренный, а \(BO\) — медиана к основанию \(AC\). В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и биссектрисой. Поэтому \[ BD\perp AC, \] и \(BD\) делит угол \(B\) пополам. Аналогично рассматриваются остальные углы. Значит, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

17. Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые.
Основные свойства квадрата:

• все стороны равны;
• все углы прямые;
• противоположные стороны параллельны;
• диагонали равны;
• диагонали взаимно перпендикулярны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• диагонали делят углы квадрата пополам.

18. Основные признаки квадрата:

1. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник — квадрат.
   Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому \[ OA=OB=OC=OD. \] Из \(AC\perp BD\) треугольники \(AOB\) и \(BOC\) — равнобедренные прямоугольные, значит \(AB=BC\). Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат.

2. Если диагонали ромба равны, то этот ромб — квадрат.
   В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Если \(AC=BD\), то \[ OA=OB=OC=OD. \] Тогда в прямоугольном треугольнике \(AOB\) катеты равны, поэтому его острые углы по \(45^\circ\). Аналогично \(\angle DAO=45^\circ\). Значит, \[ \angle DAB=45^\circ+45^\circ=90^\circ. \] Ромб с прямым углом — квадрат.

19. Основные признаки ромба:

1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то это ромб.
   Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. В параллелограмме \(AO=OC\). Треугольники \(AOB\) и \(BOC\) имеют общую сторону \(BO\), равные стороны \(AO=OC\) и прямые углы при \(O\). Они равны, поэтому \(AB=BC\). В параллелограмме равные соседние стороны дают равенство всех сторон, то есть это ромб.

2. Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то это ромб.
   Пусть \(AC\) делит угол \(A\) пополам: \[ \angle BAC=\angle CAD. \] Но \(BC\parallel AD\), поэтому \[ \angle BCA=\angle CAD. \] Значит, \(\angle BAC=\angle BCA\), и треугольник \(ABC\) равнобедренный: \[ AB=BC. \] В параллелограмме отсюда следует равенство всех сторон, то есть это ромб.

20. Две точки \(A\) и \(B\) называются симметричными относительно точки \(O\), если \(O\) является серединой отрезка \(AB\). То есть \(A,O,B\) лежат на одной прямой и \(AO=OB\).

21. Фигура называется симметричной относительно точки \(O\), если вместе с каждой своей точкой \(X\) она содержит и точку \(X'\), симметричную \(X\) относительно \(O\). Точка \(O\) называется центром симметрии.

22. Примеры:

• а) осевая симметрия: окружность, равнобедренный треугольник, прямоугольник, квадрат, правильный пятиугольник;
• б) центральная симметрия: окружность, параллелограмм, отрезок, эллипс, правильный шестиугольник;
• в) и осевая, и центральная симметрия: окружность, квадрат, прямоугольник, ромб, правильный шестиугольник.