Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 2,\qquad x_2 = 3 \]

Как это получить

Способ 1. По теореме Виета. Уравнение приведённое (\(x^2 + px + q = 0\), где \(p=-5\), \(q=6\)), значит:

\[ x_1 + x_2 = -p = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = q = 6 \]

Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.

Способ 2. Разложение на множители. Если корни \(x_1\) и \(x_2\) известны, то

\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Способ 3. Через дискриминант (работает всегда, даже когда корни «не подбираются»):

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

Отсюда \(x_1 = \frac{5-1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\).

Проверка

\[ 2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \] \[ 3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \]

Оба корня подходят.

Принцип для похожих заданий: сначала проверь, подбираются ли корни по Виету (сумма \(= -p\), произведение \(= q\)) — это самый быстрый путь; если нет, считай дискриминант. Знак суммы корней важен: при \(p = -5\) сумма равна \(+5\), а не \(-5\).