Раскладзі на множнікі калі гэта магчыма квадратны трохчлен

Кратко:

а) \(x^2+x-20=(x-4)(x+5)\);
г) \(3x^2-2x-1=(x-1)(3x+1)\);
ж) \(-4x^2+5x-1=-(x-1)(4x-1)=(1-x)(4x-1)\);
к) \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\).

Как это получается

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) раскладывается по формуле

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \]

где \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Корни ищем через дискриминант:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]

Если \(D>0\), корней два; если \(D=0\), корень один, но он двукратный, поэтому получается квадрат; если \(D<0\), действительных корней нет, и на множители с действительными коэффициентами трехчлен не раскладывается.

1. а) \(x^2+x-20=0\).

\[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-20)=81, \] \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm9}{2}. \]

Значит, \(x_1=4\), \(x_2=-5\). Поэтому

\[ x^2+x-20=(x-4)(x+5). \]

2. г) \(3x^2-2x-1=0\).

\[ D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16, \] \[ x_{1,2}=\frac{2\pm4}{6}. \]

Отсюда \(x_1=1\), \(x_2=-\frac13\). Тогда

\[ 3x^2-2x-1=3(x-1)\left(x+\frac13\right)=(x-1)(3x+1). \]

3. ж) \(-4x^2+5x-1=0\). Удобно сначала умножить на \(-1\):

\[ 4x^2-5x+1=0. \]

\[ D=25-16=9,\qquad x_{1,2}=\frac{5\pm3}{8}. \]

Корни: \(x_1=1\), \(x_2=\frac14\). Возвращаемся к исходному старшему коэффициенту \(-4\):

\[ -4x^2+5x-1=-4(x-1)\left(x-\frac14\right)=-(x-1)(4x-1). \]

4. к) \(4x^2-12x+9=0\).

\[ D=(-12)^2-4\cdot4\cdot9=144-144=0. \]

Корень один:

\[ x=\frac{12}{8}=\frac32. \]

Поэтому

\[ 4x^2-12x+9=4\left(x-\frac32\right)^2=(2x-3)^2. \]

Проверил раскрытием скобок — все четыре разложения дают исходные трехчлены. На фото видны пункты а), г), ж), к) задания 2.152; остальные пункты обрезаны.