Тест по теме: «Средняя линия треугольника» 2 вариант 1. В треугольнике ABC найдите AC, если PE = 3,2 см.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Фамилия имя ____________________
Тест по теме: «Средняя линия треугольника»
2 вариант

1. В треугольнике $ABC$ найдите $AC$, если $PE = 3,2$ см. $AC =$ ____________
[Рисунок: треугольник $ABC$, вершина $B$ вверху; на стороне $AB$ отмечена точка $P$, на стороне $BC$ — точка $E$; отрезок $PE$ горизонтален; на $AP$ и $PB$, а также на $BE$ и $EC$ стоят отметки равенства; у $PE$ написано $3,2$, под $AC$ — знак вопроса.]

2. В треугольнике $ABC$ найдите $PE$, если $AC = 16,6$ см. $PE =$ ____________
[Рисунок: треугольник $ABC$, вершина $B$ вверху; $P$ лежит на $AB$, $E$ — на $BC$; на $PE$ стоит знак вопроса, под $AC$ написано $16,6$; на сторонах $AB$ и $BC$ — отметки равенства.]

3. Периметр равностороннего треугольника равен 48 см. Найдите длину средней линии треугольника:

1. 24 см; 2) 16 см; 3) 8 см; 4) 6 см.

4. [Рисунок: четырёхугольник $ABCD$, $BC$ сверху, $AD$ снизу; точки $M$ на $AB$ и $P$ на $CD$, $MP$ — горизонтальный отрезок; отрезки $AC$ и $BD$ пересекают $MP$ в точках $N$ и $K$ соответственно; под $NK$ написано $6$, под $AD$ — $32$; на $AM$ и $MB$, $CP$ и $PD$ — отметки равенства.]
Найти: $BC$, $MP$

Answer

Краткие ответы

1. $AC=6{,}4$ см.

2. $PE=8{,}3$ см.

3. $8$ см — ответ 3).

4. $BC=20$, $MP=26$ (в единицах рисунка).

Как понять

1–2. По отметкам на рисунке $P$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Значит, $PE$ — средняя линия треугольника. Она параллельна $AC$ и равна его половине:

$$
PE=\frac{AC}{2}.
$$

Отсюда:

$$
AC=2\cdot 3{,}2=6{,}4\text{ см},
$$

$$
PE=\frac{16{,}6}{2}=8{,}3\text{ см}.
$$

3. У равностороннего треугольника все стороны равны. Его сторона:

$$
a=\frac{48}{3}=16\text{ см}.
$$

Средняя линия равна половине стороны:

$$
m=\frac{16}{2}=8\text{ см}.
$$

4. $M$ и $P$ — середины боковых сторон, значит $MP$ — средняя линия трапеции:

$$
MP=\frac{BC+AD}{2}.
$$

Кроме того, $MN$ и $KP$ — средние линии треугольников $ABC$ и $BCD$, поэтому

$$
MN=KP=\frac{BC}{2}.
$$

Тогда

$$
MP=MN+NK+KP=\frac{BC}{2}+6+\frac{BC}{2}=BC+6.
$$

С другой стороны,

$$
MP=\frac{BC+32}{2}.
$$

Приравниваем:

$$
BC+6=\frac{BC+32}{2},
$$

$$
2BC+12=BC+32,
$$

$$
BC=20.
$$

Тогда

$$
MP=20+6=26.
$$

Проверка:

$$
NK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{32-20}{2}=6.
$$

Всё сходится.