№ 282: а) √800; б) √0,01; в) √0,64; г) √121/64; д) √6 1/4

Краткий ответ: а) \(\sqrt{800}=20\sqrt{2}\approx28{,}28\); б) \(\sqrt{0{,}01}=0{,}1\); в) \(\sqrt{0{,}64}=0{,}8\); г) \(\sqrt{\dfrac{121}{64}}=\dfrac{11}{8}=1{,}375\); д) \(\sqrt{6\dfrac14}=\dfrac52=2{,}5\).

Как это получается:

1. Арифметический квадратный корень \(\sqrt a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Поэтому удобно представлять число под корнем в виде квадрата: \(\sqrt{x^2}=|x|\), а если \(x\ge0\), то \(\sqrt{x^2}=x\).
2. Для произведения и дроби: \[ \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\quad(b>0). \]

Разбор:

• а) \(800=400\cdot2=20^2\cdot2\), поэтому \[ \sqrt{800}=\sqrt{20^2\cdot2}=20\sqrt2. \] Полного квадрата здесь нет, поэтому точный ответ содержит корень.
• б) \(0{,}01=(0{,}1)^2\), значит \(\sqrt{0{,}01}=0{,}1\).
• в) \(0{,}64=(0{,}8)^2\), значит \(\sqrt{0{,}64}=0{,}8\).
• г) \(\sqrt{\dfrac{121}{64}}=\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{64}}=\dfrac{11}{8}\).
• д) смешанное число переводим в неправильную дробь: \[ 6\frac14=\frac{25}{4},\qquad \sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt4}=\frac52. \]

Проверка: я проверил возведением в квадрат: \[ (20\sqrt2)^2=400\cdot2=800,\quad 0{,}1^2=0{,}01,\quad 0{,}8^2=0{,}64, \] \[ \left(\frac{11}{8}\right)^2=\frac{121}{64},\qquad \left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4}=6\frac14. \] Всё сходится.