246. Упростите выражение: а) (a − b)(a² + b² + ab) + b(a − b)² − a(a − b)(a + 2b); б) a(a − b)(a + b) − (a + b)(a² + b² − ab) + b²(a + b).
Реши номер 246
Сверь числа и знаки с фото.
- Упростите выражение: а) \((a - b)(a^2 + b^2 + ab) + b(a - b)^2 - a(a - b)(a + 2b)\); б) \(a(a - b)(a + b) - (a + b)(a^2 + b^2 - ab) + b^2(a + b)\).
Краткий ответ:
а) \(0\);
б) \(0\).
Как решать. Используем формулы сокращённого умножения: \[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3, \] \[ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3, \] \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \] После раскрытия скобок нужно привести подобные слагаемые.
а)
\[ (a-b)(a^2+b^2+ab)+b(a-b)^2-a(a-b)(a+2b) \] Первое произведение: \[ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3. \] Второе: \[ b(a-b)^2=b(a^2-2ab+b^2)=a^2b-2ab^2+b^3. \] Третье: \[ a(a-b)(a+2b)=a(a^2+ab-2b^2)=a^3+a^2b-2ab^2. \] Подставляем: \[ (a^3-b^3)+(a^2b-2ab^2+b^3)-(a^3+a^2b-2ab^2). \] Все слагаемые взаимно уничтожаются: \[ a^3-b^3+a^2b-2ab^2+b^3-a^3-a^2b+2ab^2=0. \]
б)
\[ a(a-b)(a+b)-(a+b)(a^2+b^2-ab)+b^2(a+b) \] Первое произведение: \[ a(a-b)(a+b)=a(a^2-b^2)=a^3-ab^2. \] Второе: \[ (a+b)(a^2+b^2-ab)=a^3+b^3. \] Третье: \[ b^2(a+b)=ab^2+b^3. \] Получаем: \[ (a^3-ab^2)-(a^3+b^3)+(ab^2+b^3)=0. \]
Проверка подстановкой \(a=2,\ b=1\):
а) \(7+1-8=0\);
б) \(6-9+3=0\).
Оба выражения действительно равны нулю при любых \(a\) и \(b\).
Обсуждение
6 сообщенийРеши номер 5 и 6
Задача 5
Кратко: внутренняя энергия увеличится на 11,8 кДж (≈ 12 кДж).
Дано:
\(m = 200\) г \(= 0{,}2\) кг;
\(t = 232\,^\circ\text{C}\) — это температура плавления олова;
\(\lambda = 5{,}9\cdot10^4\) Дж/кг.
Олово уже находится при температуре плавления, поэтому его нужно только расплавить:
\[
Q=\lambda m=5{,}9\cdot10^4\cdot0{,}2=1{,}18\cdot10^4\ \text{Дж}=11{,}8\ \text{кДж}.
\]
При плавлении внутренняя энергия возрастает на \(Q\), значит:
\[
\Delta U = 11{,}8\ \text{кДж}.
\]
Задача 6
Кратко: выделится около 9,7 кДж теплоты.
Дано:
\(m = 100\) г \(= 0{,}1\) кг;
\(t_1 = 1000\,^\circ\text{C}\);
\(t_2 \approx 960\,^\circ\text{C}\) — температура плавления серебра;
\(c = 250\) Дж/(кг·°C);
\(\lambda = 0{,}87\cdot10^5\) Дж/кг.
Охлаждение жидкого серебра от \(1000\,^\circ\text{C}\) до \(960\,^\circ\text{C}\):
\[ Q_1 = cm(t_1-t_2)=250\cdot0{,}1\cdot(1000-960)=1000\ \text{Дж}. \]Кристаллизация серебра при \(960\,^\circ\text{C}\):
\[ Q_2 = \lambda m=0{,}87\cdot10^5\cdot0{,}1=8700\ \text{Дж}. \]
Общее количество теплоты:
\[
Q=Q_1+Q_2=1000+8700=9700\ \text{Дж}=9{,}7\ \text{кДж}.
\]
Если в вашей таблице температура плавления серебра указана как \(962\,^\circ\text{C}\), то \(Q_1=950\) Дж, и ответ будет \(9{,}65\) кДж.
Что означает дельта?
Δ (дельта) — греческая буква, в математике и физике ею обычно обозначают изменение или разность: «конечное значение минус начальное».
Например, в задаче 5: \[ \Delta U = U_2-U_1 \] — это изменение внутренней энергии: энергия после минус энергия до. Раз она увеличилась на \(11{,}8\) кДж, то \[ \Delta U = 11{,}8\ \text{кДж}. \]
Так же пишут изменение температуры: \[ \Delta t = t_2-t_1. \] Если тело нагревается, \(\Delta t>0\); если охлаждается, \(\Delta t<0\).
Коротко: Δ — это «на сколько изменилось».
А что мы находим в 6 задаче
В задаче 6 мы находим количество теплоты \(Q\), которое выделяется при переходе серебра из жидкого состояния в твёрдое.
Там два этапа:
Жидкое серебро остывает от \(1000\,^\circ\text{C}\) до температуры плавления \(960\,^\circ\text{C}\): \[ Q_1=cm(t_1-t_2) \] — тепло, отданное при охлаждении.
При \(960\,^\circ\text{C}\) серебро кристаллизуется: \[ Q_2=\lambda m \] — тепло, отданное при затвердевании.
Всего: \[ Q=Q_1+Q_2 \] — общее количество теплоты, которое серебро отдаёт окружающей среде.
То есть в №6 ищут не изменение температуры и не массу, а сколько тепла выделится. По нашим расчётам получилось \(9{,}7\) кДж.
