Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Кратко: те же корни \(x_1=2,\; x_2=3\) — и правда, без всякого дискриминанта.

Способ 1. Теорема Виета. Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение \(q\). У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6. \]

Ищем два числа с произведением 6 и суммой 5 — это 2 и 3:

\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6. \]

Способ 2. Группировка. Представим \(-5x\) как \(-2x-3x\):

\[ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3). \]

Дальше как раньше: \((x-2)(x-3)=0\), откуда \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка подстановкой уже была: оба корня дают 0. Так что предыдущее решение и так не использовало дискриминант — это была та же идея Виета, только записанная через разложение на множители.

Короткий ответ: можно — дискриминант здесь не запрещён математически, он даёт те же корни. Просто для этого уравнения он длиннее, и, видимо, учитель просил отработать другой приём.

Как было бы через дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0, \]

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}, \]

\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2. \]

Результат тот же: \(x_1=2,\; x_2=3\).

Почему просят без него именно здесь. Все три способа — это одно и то же решение, просто разная запись. Когда коэффициент при \(x^2\) равен 1, а корни целые (сумма 5, произведение 6), Виет или разложение на множители делаются в одну строку: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Дискриминант — это универсальный «тяжёлый» инструмент: он нужен, когда разложение неочевидно, например

\[ 2x^2-7x+3=0 \quad\text{или}\quad x^2-x-1=0, \]

где корни не подбираются устно. Уметь применять его обязательно — просто не всегда он самый быстрый.

Если в задании прямо написано «реши без дискриминанта» — это требование к оформлению, а не к математике: ответ от способа не меняется.