20 Решите неравенство

Краткий ответ: \(x\in(11;\,11+\sqrt5)\).

Решение

Сделаем замену \(t=x-11\). Тогда неравенство примет вид \[ t^2<\sqrt5\,t. \] Перенесём всё в левую часть и разложим на множители: \[ t^2-\sqrt5\,t<0 \quad\Longleftrightarrow\quad t(t-\sqrt5)<0. \] Нули выражения: \(t=0\) и \(t=\sqrt5\). График \(y=t(t-\sqrt5)\) — парабола ветвями вверх, поэтому ниже оси она находится между корнями: \[ 0<t<\sqrt5. \] Возвращаемся к \(x\): \[ 0<x-11<\sqrt5 \quad\Longleftrightarrow\quad 11<x<11+\sqrt5. \]

Почему нельзя просто сократить

Делить обе части на \(x-11\) без анализа знака нельзя: при \(x-11<0\) знак неравенства пришлось бы поменять. Надёжнее перенести всё в одну сторону и разложить на множители.

Проверка

Возьмём \(x=12\): \[ (12-11)^2=1,\qquad \sqrt5(12-11)=\sqrt5\approx2{,}24, \] и \(1<2{,}24\) — верно. При \(x=10\) получаем \(1<-\sqrt5\), что неверно. Границы \(11\) и \(11+\sqrt5\) не входят: при них обе части равны, а неравенство строгое.

На фото полностью читается только задание 20; его и разобрал. Для задания 21 нужен полный кадр.