1) Хорды MN и KL пересекаются в точке A, причем хорда MN делится точкой A на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка A делит хорду KL, если KL в два раза меньше MN?

Краткий ответ

1. \(3\) см и \(5\) см.
2. \(AB=15\) см.

Почему так

Для двух пересекающихся хорд выполняется свойство: \[ AM\cdot AN=AK\cdot AL, \] то есть произведения отрезков одной хорды и другой равны. Его можно получить из подобия треугольников, образованных хордами.

1)
\[ MN=1+15=16\text{ см} \] \[ KL=16:2=8\text{ см} \]

Пусть \(A\) делит \(KL\) на отрезки \(x\) и \(8-x\). Тогда: \[ x(8-x)=1\cdot 15 \] \[ x^2-8x+15=0 \] Корни: \(x=3\) и \(x=5\). Значит, отрезки равны \(3\) см и \(5\) см.

Проверка: \(3\cdot 5=15\), и \(1\cdot 15=15\).

2)
В условии \(AM:MB=4\); понимаю это как отношение \(4:1\), то есть \(AM=4\,MB\).

\[ CM\cdot DM=4\cdot 9=36 \]

Пусть \(MB=x\), тогда \(AM=4x\): \[ 4x\cdot x=36 \] \[ x^2=9 \] \[ x=3 \]

Значит: \[ MB=3\text{ см},\quad AM=12\text{ см} \] \[ AB=AM+MB=12+3=15\text{ см} \]

Проверка: \(12\cdot 3=36=4\cdot 9\).