8–2*4³

Степень с целым показателем

Для \(a\neq 0\):

\[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad(n\in\mathbb{N}) \]

Например: \(5^0=1,\quad 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\).

Свойства (для \(a\neq0,\ b\neq0\), \(m,n\in\mathbb{Z}\))

1. \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
   Пример: \(2^3\cdot2^{-5}=2^{-2}=\frac{1}{4}\).

2. \(a^m:a^n=a^{m-n}\)
   Пример: \(\frac{3^{-2}}{3^{-5}}=3^{-2-(-5)}=3^3=27\).

3. \((a^m)^n=a^{mn}\)
   Пример: \((2^{-2})^3=2^{-6}=\frac{1}{64}\).

4. \((ab)^n=a^n b^n\)
   Пример: \((2\cdot3)^{-2}=2^{-2}\cdot3^{-2}=\frac{1}{36}\).

5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)
   Пример: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\).

Главная идея: все свойства обычных степеней сохраняются, а отрицательный показатель просто «переворачивает» дробь: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), поэтому \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n\).