268. Сравните рациональные числа: а) 0,013 и 0,1004; б) −24 и 0,003; в) −3,24 и −3,42; г) 3/8 и 0,375; д) −1,174 и −1 7/40; е) 10/11 и 11/12; ж) −2,005 и −2,04; з) −1 3/4 и −1,75;

На фото синим подчёркнуто задание 268 — разбираю его.

Краткий ответ

• а) \(0,013<0,1004\);
• б) \(-24<0,003\);
• в) \(-3,24>-3,42\);
• г) \(\frac{3}{8}=0,375\);
• д) \(-1,174>-1\frac{7}{40}\);
• е) \(\frac{10}{11}<\frac{11}{12}\);
• ж) \(-2,005>-2,04\);
• з) \(-1\frac{3}{4}=-1,75\);
• и) \(0,437<\frac{7}{16}\);
• к) \(-\frac{1}{8}>-0,13\).

Как рассуждать

На координатной прямой больше то число, которое расположено правее. Отсюда:

• любое отрицательное число меньше любого положительного;
• из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше: например, \(-3,24>-3,42\), потому что \(3,24<3,42\);
• положительные десятичные дроби сравниваем по разрядам;
• обыкновенную дробь переводим в десятичную, если это удобно, или сравниваем перекрёстным умножением: для \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) сравниваем \(ad\) и \(bc\).

Почему у отрицательных чисел «наоборот»: если \(a<b\), то после умножения на \(-1\) знак неравенства меняется, то есть \(-a>-b\).

Разбор

• а) \(0,013=0,0130\). В разряде десятых \(0<1\), значит \(0,013<0,1004\).
• б) \(-24\) отрицательное, \(0,003\) положительное, поэтому \(-24<0,003\).
• в) Модули: \(3,24<3,42\), значит \(-3,24>-3,42\).
• г) \(3:8=0,375\), поэтому \(\frac{3}{8}=0,375\).
• д) \(\frac{7}{40}=0,175\), поэтому \(-1\frac{7}{40}=-1,175\). Сравниваем \(-1,174\) и \(-1,175\): \(1,174<1,175\), значит \(-1,174>-1,175\).
• е) Перекрёстно: \(10\cdot12=120\), \(11\cdot11=121\); \(120<121\), поэтому \(\frac{10}{11}<\frac{11}{12}\).
• ж) \(|-2,005|=2,005<2,04=|-2,04|\), значит \(-2,005>-2,04\).
• з) \(1\frac{3}{4}=1,75\), поэтому \(-1\frac{3}{4}=-1,75\).
• и) \(\frac{7}{16}=7:16=0,4375\), значит \(0,437<0,4375\).
• к) \(-\frac{1}{8}=-0,125\). \(|-0,125|=0,125<0,13=|-0,13|\), значит \(-0,125>-0,13\).

Проверка

На координатной прямой \(-3,42\) левее \(-3,24\); \(-2,04\) левее \(-2,005\); \(-0,13\) левее \(-0,125\). Это подтверждает знаки в пунктах в), ж), к). Равенства г) и з) проверяются делением: \(3:8=0,375\) и \(3:4=0,75\), поэтому \(1\frac{3}{4}=1,75\).

Алгоритм для похожего задания

1. Определи знаки чисел.
2. Если знаки разные, отрицательное меньше положительного.
3. Если оба положительные, сравни по разрядам или приведи дроби к общему знаменателю.
4. Если оба отрицательные, сравни модули и поставь противоположный знак.