1) В треугольнике ABC ∠ A = 30°, ∠ B = 60°, BC = 5√3. Найдите AC.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $BC = 5\sqrt{3}$. Найдите $AC$.

2. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 9\sqrt{6}$. Найдите $AC$.

3. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AC = 7\sqrt{2}$. Найдите $BC$.

4. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $BC = 5\sqrt{6}$. Найдите $AC$.

5. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 4\sqrt{2}$. Найдите $AC$.

Answer

Краткий ответ:

1. $AC=15$

2. $AC=18$

3. $BC=7$

4. $AC=15$

5. $AC=8$

Как это получается. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ лежит против угла $A$, а $AC$ — против угла $B$. По теореме синусов:
$$
\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}.
$$
Отсюда:
$$
AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A},\qquad
BC=AC\cdot\frac{\sin A}{\sin B}.
$$

Нужны значения:
$$
\sin30^\circ=\frac12,\quad
\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad
\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.
$$

1. $AC=5\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3/2}{1/2}=15$.

2. $AC=9\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2}=18$.

3. $BC=7\sqrt2\cdot\dfrac{1/2}{\sqrt2/2}=7$.

4. $AC=5\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=15$.

5. $AC=4\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2/2}{1/2}=8$.

Проверка для №3: $\dfrac{BC}{\sin30^\circ}=14$ и $\dfrac{AC}{\sin45^\circ}=14$, значит, всё сходится.