2) Хорды AB и CD пересекаются в точке M. Найдите длину хорды AB, если CM = 4 см, DM = 9 см, AM : MB = 4.

Ответ: \(AB=15\) см. На фото подчёркнута задача №2, поэтому решаю её.

Ключевой принцип

Если две хорды окружности пересекаются, то произведения их отрезков равны: \[ AM\cdot MB=CM\cdot DM. \]

Шаги

1. По условию \(CM=4\) см, \(DM=9\) см: \[ AM\cdot MB=4\cdot9=36. \]

2. Дано \(AM:MB=4:1\). Пусть \(MB=x\), тогда \(AM=4x\).

3. Подставляем: \[ 4x\cdot x=36, \] \[ 4x^2=36, \] \[ x^2=9. \] Так как длина положительна, \(x=3\).

4. Значит: \[ MB=3\text{ см},\qquad AM=4\cdot3=12\text{ см}. \]

5. Вся хорда: \[ AB=AM+MB=12+3=15\text{ см}. \]

Проверка: \(12\cdot3=36\), и \(4\cdot9=36\). Всё сходится.