задание 174
Сверь числа и знаки с фото.
174* Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\), если \(\angle A = \angle A_{1}\), \(\angle B = \angle B_{1}\), \(BC = B_{1}C_{1}\).
Краткий ответ. Да, \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\). Это следует из второго признака равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Ключевые шаги.
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому \[ \angle C=180^\circ-\angle A-\angle B,\qquad \angle C_1=180^\circ-\angle A_1-\angle B_1. \] Так как \(\angle A=\angle A_1\) и \(\angle B=\angle B_1\), получаем: \[ \angle C=\angle C_1. \]
В треугольниках есть равные сторона и два прилежащих к ней угла: \[ BC=B_1C_1,\qquad \angle B=\angle B_1,\qquad \angle C=\angle C_1. \] Сторона \(BC\) соединяет вершины \(B\) и \(C\), поэтому углы \(B\) и \(C\) прилежат к ней. То же верно для \(B_1C_1\).
По второму признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1. \]
Что важно понять. Изначально сторона \(BC\) противолежит углу \(A\), а не прилежит к нему. Но, найдя третий угол \(C\), мы можем взять сторону \(BC\) вместе с углами \(B\) и \(C\), к которым она уже прилежит. В похожей задаче с двумя углами и стороной сначала находят третий угол, а затем применяют признак по стороне и двум прилежащим углам.
