объясни эту тему
Сверь числа и знаки с фото.
Завтра по Алгебре проверочная работа на темы: Арифметический квадратный корень. Повторяем! Возведение корня в степень, произведение, отношения под арифметическим квадратным корнем
Кратко
Арифметический квадратный корень из числа \(a \ge 0\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Запись: \(\sqrt{a}\).
Все свойства ниже — это, по сути, «правила игры» с корнями, и работают они только тогда, когда под корнем неотрицательные выражения.
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \quad (a \ge 0) \] \[ \sqrt{a^2} = |a| \] \[ \sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \quad (a \ge 0,\ b \ge 0) \] \[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0,\ b > 0) \] \[ \left(\sqrt{a}\right)^{n} = \sqrt{a^{n}} \quad (a \ge 0) \]
Откуда берутся свойства произведения и отношения
Ключевая идея: чтобы доказать, что число \(x\) равно \(\sqrt{A}\), нужно проверить два условия: \(x \ge 0\) и \(x^2 = A\).
Возьмём \(x = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\). Он неотрицателен, а его квадрат: \[ \left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2\left(\sqrt{b}\right)^2 = ab. \] Значит, по определению это и есть \(\sqrt{ab}\).
Аналогично для дроби: \[ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}, \] и число \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0\), поэтому оно равно \(\sqrt{\frac{a}{b}}\).
Свойство степени — это просто повторение первого равенства: \(\left(\sqrt{a}\right)^{2k} = a^{k}\).
Разбор примеров
Произведение: \(\sqrt{49\cdot 16} = \sqrt{49}\cdot\sqrt{16} = 7\cdot 4 = 28\). Проверка: \(28^2 = 784 = 49\cdot16\) — верно.
Отношение: \(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}\). Проверка: \(\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}\).
Возведение корня в степень: \(\left(\sqrt{7}\right)^{4} = \left(\sqrt{7}\right)^{2\cdot 2} = 7^{2} = 49\).
Вынесение множителя: \(\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}\). Проверка: \(\left(5\sqrt{2}\right)^2 = 25\cdot 2 = 50\).
Внесение множителя: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9\cdot 5} = \sqrt{45}\).
Важно про \(\sqrt{a^2}\): \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\), а не \(-5\). Корень не бывает отрицательным, поэтому пишем модуль.
Типичные ошибки на проверочной
- \(\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b}\). Например, \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), а \(\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7\).
- Забыть про модуль: \(\sqrt{x^2} = |x|\), а не \(x\).
- Сокращать под корнем и перед корнем как попало: \(\sqrt{a^2+b^2} \ne a+b\).
- Считать, что \(\sqrt{-4}\) существует в действительных числах, — не существует.
Универсальная проверка ответа
Любой полученный результат \(x\) возведи в квадрат: должно выйти подкоренное выражение, причём сам \(x \ge 0\). Если хотя бы одно условие нарушено — в решении ошибка.
Обсуждение
2 сообщенияПокороче
Арифметический квадратный корень — коротко
\(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
Свойства (при \(a\ge 0,\ b\ge 0,\ b>0\)):
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2=a,\qquad \sqrt{a^2}=|a| \] \[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \] \[ \left(\sqrt{a}\right)^{n}=\sqrt{a^{n}} \]
Почему так: чтобы доказать \(x=\sqrt{A}\), хватает двух проверок — \(x\ge 0\) и \(x^2=A\). Именно так работают оба свойства: \(\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2=ab\).
Примеры:
- \(\sqrt{49\cdot16}=7\cdot4=28\)
- \(\sqrt{\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}\)
- \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), обратно: \(3\sqrt{5}=\sqrt{45}\)
- \(\sqrt{(-5)^2}=5\), поэтому \(\sqrt{x^2}=|x|\)
Частые ошибки: \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\); забывают модуль; \(\sqrt{-4}\) не существует.
Проверка: возведи ответ в квадрат — должно получиться подкоренное выражение, и ответ неотрицателен.
