Задание 46. Определите дискриминант и количество корней квадратного уравнения. D = b² - 4ac — дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

Кратко. Дискриминант считают по формуле \(D=b^{2}-4ac\), и его знак сразу говорит, сколько корней: \(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — ни одного.

Как это получается. Сначала выписываем \(a\), \(b\), \(c\) вместе со знаками, потом подставляем:

• №1: \(a=2,\ b=1,\ c=-3\), значит \(D=1^{2}-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25>0\) — два корня. (В рукописной пометке на фото значение 25 верное.)
• №6: \(a=1,\ b=-2,\ c=2\), тогда \(D=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0\) — корней нет.
• №8: \(a=-16,\ b=-8,\ c=1\), тогда \(D=(-8)^{2}-4\cdot(-16)\cdot 1=64+64=128>0\).
• №11: \(a=-3,\ b=1,\ c=-1\), тогда \(D=1^{2}-4\cdot(-3)\cdot(-1)=1-12=-11<0\).

Алгоритм для похожего задания:

1. Приведи уравнение к виду \(ax^{2}+bx+c=0\) (ничего не теряя по знаку).
2. Вычисли \(b^{2}\) (квадрат всегда неотрицательный) и отдельно \(4ac\).
3. Вычти: \(D=b^{2}-4ac\). Главная ловушка — \(c<0\): произведение \(4ac\) отрицательно, и минус перед ним даёт «плюс» (как в №1, №15).
4. Сравни \(D\) с нулём — это и есть число корней; сами корни ищут по \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

Проверка. №1: \(x=\dfrac{-1\pm 5}{4}\), то есть \(1\) и \(-1{,}5\) — два корня, сходится. №3: \(x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0\), корень один, \(x=-3\). №14: \((x+2)^{2}=0\), \(x=-2\). №9: \(5x^{2}-4x+1=5(x-0{,}4)^{2}+0{,}2>0\) — корней нет, как и показал \(D=-4\).