Какие треугольники равны, если KG = LN, KM = ML и ∠GKN = ∠GLN?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Упражнение 2 из 3

[Рисунок: точки $K$ и $L$ расположены сверху, $G$ и $N$ — внизу; проведены отрезки $GK$, $KN$, $GN$, $GL$, $LN$; отрезки $KN$ и $GL$ пересекаются в точке $M$.]

Какие треугольники равны, если $KG = LN$, $KM = ML$ и $\angle GKN = \angle GLN$?

Выбери верные варианты ответа.

$\triangle GLN = \triangle KNG$ $\triangle NGM = \triangle LGN$
$\triangle KGM = \triangle GMN$ $\triangle LNG = \triangle MLN$
$\triangle NML = \triangle MNG$ $\triangle GKM = \triangle MLN$

Answer

Краткий ответ: выбирай первый и последний варианты:
$$
\triangle GLN=\triangle KNG,\qquad \triangle GKM=\triangle MLN.
$$

Если записывать с точным соответствием вершин, то это $\triangle GLN\cong\triangle NKG$ и $\triangle GKM\cong\triangle NLM$; в тесте же треугольники сравниваются как наборы вершин.

Почему так:

1. Точка $M$ лежит на $KN$ и $GL$, поэтому
$$
\angle GKN=\angle GKM,\qquad \angle GLN=\angle MLN.
$$
По условию эти углы равны, значит:
$$
\angle GKM=\angle MLN.
$$

2. Рассмотрим треугольники $GKM$ и $NLM$. У них:
$$
KG=LN,\qquad KM=LM,\qquad \angle GKM=\angle NLM.
$$
Это равенство по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$
\triangle GKM\cong\triangle NLM,
$$
откуда $GM=MN$. Отсюда и следует вариант с треугольниками $GKM$ и $MLN$ — это один и тот же треугольник с вершинами $M,L,N$.

3. Теперь:
$$
GL=GM+ML,
$$
$$
KN=KM+MN.
$$
Так как $GM=MN$ и $ML=KM$, получаем $GL=KN$. Кроме того, $LN=KG$, а $GN$ — общая сторона. Поэтому по трём сторонам:
$$
\triangle GLN=\triangle KNG.
$$

Остальные пары треугольников не имеют всех трёх соответственно равных сторон.