Какие треугольники равны, если KG = LN, KM = ML и ∠GKN = ∠GLN?

Краткий ответ: верны варианты \(\triangle GLN = \triangle KNG\) и \(\triangle GKM = \triangle MLN\) (второй — это тот же \(\triangle KGM = \triangle LNM\), просто вершины записаны в другом порядке; в таких заданиях порядок вершин в названии не важен).

Как рассуждать

1. Приводим углы к треугольникам с вершиной \(M\). Точка \(M\) лежит на \(KN\), поэтому лучи \(KM\) и \(KN\) совпадают: \(\angle GKM = \angle GKN\). Так же \(M\) лежит на \(GL\), значит \(\angle NLM = \angle GLN\). Отсюда \[ \angle GKM = \angle NLM. \]

2. Первый признак (две стороны и угол между ними). В треугольниках \(KGM\) и \(LNM\): \[ KG = LN \text{ (дано)},\qquad KM = LM \text{ (дано)},\qquad \angle GKM = \angle NLM. \] Значит, \(\triangle KGM = \triangle LNM\), и в частности \[ GM = MN. \]

3. Достаём ещё одну пару равных сторон. Отрезки \(GL\) и \(KN\) составлены из равных частей: \[ GL = GM + ML = MN + KM = KN. \]

4. Третий признак (три стороны). В треугольниках \(GLN\) и \(KNG\): \[ GL = KN,\qquad LN = KG,\qquad GN \text{ — общая}, \] поэтому \(\triangle GLN = \triangle KNG\).

Проверка. Я проверил на числах: пусть \(KM = ML = 3\), \(GM = MN = 2\), \(KG = LN = 4\). Тогда \(GL = KN = 3 + 2 = 5\), и у треугольников \(GLN\) и \(KNG\) стороны попарно равны: \(5\), \(4\) и общая \(GN\). Всё сходится.

Почему остальные не подходят. В парах \(\triangle NGM\) и \(\triangle LGN\), \(\triangle LNG\) и \(\triangle MLN\) один треугольник маленький, другой большой. В парах \(\triangle KGM\) и \(\triangle GMN\), \(\triangle NML\) и \(\triangle MNG\) совпадает только одна сторона (\(GM\) или \(MN\)), а две другие не равны.

Главная идея. Сначала ищи пару треугольников, у которых уже есть две равные стороны: если известен угол между ними — сразу первый признак. Из равенства треугольников вытаскивай недостающую сторону, а потом применяй третий признак к другой паре.