Какие треугольники равны, если KG = LN, KM = ML и ∠GKN = ∠GLN?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Упражнение 2 из 3

[Рисунок: точки K и L расположены сверху, G и N — внизу; проведены отрезки GK, GL, KN, LN и GN; отрезки KN и GL пересекаются в точке M]

Какие треугольники равны, если $KG = LN$, $KM = ML$ и $\angle GKN = \angle GLN$?

Выбери верные варианты ответа.

$\triangle GLN = \triangle KNG$
$\triangle NGM = \triangle LGN$
$\triangle KGM = \triangle GMN$
$\triangle LNG = \triangle MLN$
$\triangle NML = \triangle MNG$
$\triangle GKM = \triangle MLN$

Answer

Краткий ответ: верные варианты — $\triangle GLN = \triangle KNG$ и $\triangle GKM = \triangle MLN$.

Разбор по шагам

1. Переводим углы на «удобные» лучи. По рисунку $M$ лежит на $KN$ и на $GL$. Поэтому
$$
\angle GKM = \angle GKN, \qquad \angle NLM = \angle GLN .
$$
А по условию $\angle GKN = \angle GLN$, значит
$$
\angle GKM = \angle NLM .
$$

2. Первый признак (две стороны и угол между ними). В треугольниках $GKM$ и $NLM$:

$KG = LN$ — дано;

$KM = ML$ — дано;

углы между этими сторонами равны: $\angle GKM = \angle NLM$.

Значит, $\triangle GKM \cong \triangle NLM$ (соответствие вершин $G \leftrightarrow N$, $K \leftrightarrow L$, $M \leftrightarrow M$). Отсюда следует важное:
$$
GM = MN .
$$

3. Третий признак (три стороны). Из пункта 2:
$$
GL = GM + ML = MN + KM = KN .
$$
Теперь в треугольниках $GLN$ и $KNG$:

$GL = KN$ — только что доказали;

$LN = KG$ — дано;

$GN$ — общая сторона.

Значит, $\triangle GLN \cong \triangle KNG$ (соответствие $G \leftrightarrow K$, $L \leftrightarrow N$, $N \leftrightarrow G$).

Небольшое замечание про запись. В варианте $\triangle GKM = \triangle MLN$ порядок вершин не совпадает с взаимным соответствием (аккуратнее было бы $\triangle GKM = \triangle NLM$), но речь о равенстве самих треугольников как фигур — а оно доказано.

Почему остальные не подходят. Например, у $\triangle KGM$ и $\triangle GMN$ общая только сторона $GM$, а $KG \ne GN$; у $\triangle NML$ и $\triangle MNG$ общая $MN$, но $ML$ не равно $NG$; $\triangle LNG$ и $\triangle MLN$ — треугольники разных размеров.

Проверка идеи: оба верных ответа опираются на одни и те же данные, причём первый признак даёт равенство «маленьких» треугольников при точке $M$, а из него уже «вырастает» третий признак для «больших». В похожей задаче сначала ищи треугольники с общей вершиной $M$: у них обычно есть пара равных сторон и вертикальный или данный угол.