22. Постройте график функции y = ((x² + 5x) · |x|)/(x+5). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Краткий ответ: \(m=-25\).

Как это получить

1. Находим ОДЗ: \[ x+5\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -5. \]

2. При \(x\ne -5\) сокращаем дробь: \[ y=\frac{x(x+5)|x|}{x+5}=x|x|. \] То есть \[ y= \begin{cases} -x^2, & x<0,\\ x^2, & x\ge 0. \end{cases} \]

3. График состоит из двух ветвей парабол, но в точке \(x=-5\) есть «дырка». Если бы её не было, \[ y(-5)=(-5)\cdot 5=-25. \] Но при \(x=-5\) исходная функция не определена, поэтому точка \((-5;-25)\) выколота.

4. Множество значений функции: \[ (-\infty;-25)\cup(-25;+\infty), \] то есть все числа, кроме \(-25\).

5. Прямая \(y=m\) горизонтальна. Она не пересекает график тогда и только тогда, когда число \(m\) не входит в множество значений функции. Значит, \[ m=-25. \]

Проверка: при \(m=-25\) уравнение \[ x|x|=-25 \] при \(x\ge0\) не имеет решений, а при \(x<0\) даёт \(x=-5\), но эта точка исключена из ОДЗ. Поэтому общих точек действительно нет.