сделай так же как в этих примерах
Сверь числа и знаки с фото.
Домашняя работа
- \(y=x^{7}\)
- \(y=-x^{4}\)
- \(y=3x^{2}\)
- \(y=-2x^{3}\)
- \(y=x^{4}-3x^{2}\)
- \(y=\frac{2}{x^{2}}\)
- \(y=\frac{1}{x^{5}}\)
- \(y=x^{3}+3x\)
- \(y=-x^{4}+2x^{2}\)
- \(y=\frac{1}{x^{2}}-2\)
- \(y=x^{5}-4x^{3}\)
- \(y=-\frac{3}{x^{4}}\)
- \(y=x^{6}-3x^{4}\)
- \(y=-\frac{1}{x^{3}}\)
- \(y=-x^{5}+x^{3}\)
- \(D(y)\) — ?
- \(D(y)\) — обл. опр.; \(E(y)\) — обл. знач.
- Чётн. нечёт. ф-и
- \(\nearrow,\searrow\)
- Огранич. ф-и
- Укажим знаки [Рисунок: в осях \(x\), \(y\) схематично показан график, проходящий через начало координат; кривая симметрична относительно начала координат]
Исследование функции \(y=x^{2}+3x+2\) [Рисунок: парабола, ветви направлены вверх; вершина \((-1{,}5;-0{,}25)\), график пересекает ось \(Ox\) в точках \(-2\) и \(-1\)] [Рукописные строки над и под графиком частично неразборчивы]
Кратко. Нужно для каждой из 15 функций заполнить один и тот же «паспорт»: \(D(y)\), \(E(y)\), чётность, нули, промежутки знакопостоянства, монотонность и экстремумы, ограниченность, затем эскиз графика.
В образце для \(y=x^2+3x+2\): \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\left[-\frac14;+\infty\right)\), нули \(x=-2\) и \(x=-1\), минимум в точке \(\left(-\frac32;-\frac14\right)\), ветви параболы вверх.
Подробный образец: № 5, \(y=x^4-3x^2\)
Область определения: \[ D(y)=\mathbb R. \]
Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).
Нули: \[ x^4-3x^2=x^2(x^2-3)=0, \] \[ x=0,\qquad x=\pm\sqrt3. \]
Производная: \[ y'=4x^3-6x=2x(2x^2-3). \] Критические точки: \[ x=0,\qquad x=\pm\sqrt{\frac32}. \]
Знаки производной:
- \(y'<0\) при \(x<-\sqrt{\frac32}\) — функция убывает;
- \(y'>0\) при \(-\sqrt{\frac32}<x<0\) — возрастает;
- \(y'<0\) при \(0<x<\sqrt{\frac32}\) — убывает;
- \(y'>0\) при \(x>\sqrt{\frac32}\) — возрастает.
Значит: \[ y_{\min}\left(\pm\sqrt{\frac32}\right)=-\frac94, \] \[ y_{\max}(0)=0. \]
Область значений: \[ E(y)=\left[-\frac94;+\infty\right). \]
Эскиз: «W-образная» чётная кривая. Точки для построения: \[ (-\sqrt3;0),\quad \left(-\sqrt{\frac32};-\frac94\right),\quad (0;0),\quad \left(\sqrt{\frac32};-\frac94\right),\quad (\sqrt3;0). \]
Проверка: \(y(1)=1-3=-2\) — это отрицательное значение между \(0\) и \(\sqrt3\), всё сходится.
Если производную ещё не проходили, № 5 можно разобрать заменой \(t=x^2\ge0\): \[ y=t^2-3t=\left(t-\frac32\right)^2-\frac94. \]
Сводная таблица по домашней работе
| № | Функция | \(D(y)\); \(E(y)\) | Чётность | Нули и знаки | Монотонность, экстремумы, ограниченность |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(y=x^7\) | \(\mathbb R;\mathbb R\) | нечётная | \(x=0\); \(y<0\) при \(x<0\), \(y>0\) при \(x>0\) | возрастает на \(\mathbb R\); экстремумов нет; не ограничена |
| 2 | \(y=-x^4\) | \(\mathbb R;(-\infty;0]\) | чётная | \(x=0\); \(y<0\) при \(x\ne0\) | возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\); max \((0;0)\); ограничена сверху |
| 3 | \(y=3x^2\) | \(\mathbb R;[0;+\infty)\) | чётная | \(x=0\); \(y>0\) при \(x\ne0\) | убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\); min \((0;0)\); ограничена снизу |
| 4 | \(y=-2x^3\) | \(\mathbb R;\mathbb R\) | нечётная | \(x=0\); \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\) | убывает на \(\mathbb R\); экстремумов нет; не ограничена |
| 5 | \(y=x^4-3x^2\) | \(\mathbb R;\left[-\frac94;+\infty\right)\) | чётная | \(-\sqrt3,0,\sqrt3\); \(y>0\) на \((-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty)\), \(y<0\) на \((-\sqrt3;0)\cup(0;\sqrt3)\) | разбор выше; min \(\left(\pm\sqrt{\frac32};-\frac94\right)\), max \((0;0)\); ограничена снизу |
| 6 | \(y=\frac{2}{x^2}\) | \(x\ne0;(0;+\infty)\) | чётная | нулей нет; \(y>0\) при \(x\ne0\) | возрастает на \((-\infty;0)\), убывает на \((0;+\infty)\); асимптоты \(x=0\), \(y=0\); ограничена снизу |
| 7 | \(y=\frac{1}{x^5}\) | \(x\ne0;(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\) | нечётная | нулей нет; \(y>0\) при \(x>0\), \(y<0\) при \(x<0\) | убывает на \((-\infty;0)\) и на \((0;+\infty)\); асимптоты \(x=0\), \(y=0\); не ограничена |
| 8 | \(y=x^3+3x\) | \(\mathbb R;\mathbb R\) | нечётная | \(x=0\); \(y<0\) при \(x<0\), \(y>0\) при \(x>0\) | возрастает на \(\mathbb R\); экстремумов нет; не ограничена |
| 9 | \(y=-x^4+2x^2\) | \(\mathbb R;(-\infty;1]\) | чётная | \(-\sqrt2,0,\sqrt2\); \(y>0\) на \((-\sqrt2;0)\cup(0;\sqrt2)\), \(y<0\) на \((-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\) | возрастает \((-\infty;-1]\), убывает \([-1;0]\), возрастает \([0;1]\), убывает \([1;+\infty)\); max \((\pm1;1)\), min \((0;0)\); ограничена сверху |
| 10 | \(y=\frac{1}{x^2}-2\) | \(x\ne0;(-2;+\infty)\) | чётная | \(\pm\frac{1}{\sqrt2}\); \(y>0\) на \(\left(-\frac{1}{\sqrt2};0\right)\cup\left(0;\frac{1}{\sqrt2}\right)\), \(y<0\) при \(x<-\frac{1}{\sqrt2}\) или \(x>\frac{1}{\sqrt2}\) | возрастает \((-\infty;0)\), убывает \((0;+\infty)\); асимптоты \(x=0\), \(y=-2\); ограничена снизу |
| 11 | \(y=x^5-4x^3\) | \(\mathbb R;\mathbb R\) | нечётная | \(-2,0,2\); \(y<0\) на \((-\infty;-2)\cup(0;2)\), \(y>0\) на \((-2;0)\cup(2;+\infty)\) | возрастает \((-\infty;-a]\), убывает \([-a;a]\), возрастает \([a;+\infty)\), где \(a=\sqrt{\frac{12}{5}}\); лок. max \(\frac{192\sqrt{15}}{125}\), лок. min \(-\frac{192\sqrt{15}}{125}\); не ограничена |
| 12 | \(y=-\frac{3}{x^4}\) | \(x\ne0;(-\infty;0)\) | чётная | нулей нет; \(y<0\) при \(x\ne0\) | убывает \((-\infty;0)\), возрастает \((0;+\infty)\); асимптоты \(x=0\), \(y=0\); ограничена сверху |
| 13 | \(y=x^6-3x^4\) | \(\mathbb R;[-4;+\infty)\) | чётная | \(0,\pm\sqrt3\); \(y<0\) на \((-\sqrt3;0)\cup(0;\sqrt3)\), \(y>0\) на \((-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty)\) | убывает \((-\infty;-\sqrt2]\), возрастает \([-\sqrt2;0]\), убывает \([0;\sqrt2]\), возрастает \([\sqrt2;+\infty)\); min \((\pm\sqrt2;-4)\), max \((0;0)\); ограничена снизу |
| 14 | \(y=-\frac{1}{x^3}\) | \(x\ne0;(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\) | нечётная | нулей нет; \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\) | возрастает на \((-\infty;0)\) и на \((0;+\infty)\); асимптоты \(x=0\), \(y=0\); не ограничена |
| 15 | \(y=-x^5+x^3\) | \(\mathbb R;\mathbb R\) | нечётная | \(-1,0,1\); \(y>0\) на \((-\infty;-1)\cup(0;1)\), \(y<0\) на \((-1;0)\cup(1;+\infty)\) | убывает \((-\infty;-a]\), возрастает \([-a;a]\), убывает \([a;+\infty)\), где \(a=\sqrt{\frac35}\); лок. max \(\frac{6\sqrt{15}}{125}\) при \(x=a\), лок. min \(-\frac{6\sqrt{15}}{125}\) при \(x=-a\); не ограничена |
Как быстро рисовать эскизы
- № 1, 4, 8 — графики типа кубической параболы.
- № 2, 3 — параболы; № 2 направлена вниз, № 3 — вверх.
- № 5, 9, 13 — «W»- или «M»-образные чётные кривые; строй по нулям и экстремумам.
- № 6, 10, 12 — две ветви с вертикальной асимптотой \(x=0\); у № 10 ещё горизонтальная \(y=-2\).
- № 7, 14 — гиперболы в противоположных четвертях.
- № 11, 15 — нечётные S-образные кривые с локальными максимумом и минимумом.
Для чётных функций график симметричен относительно \(Oy\), для нечётных — относительно начала координат. Этого достаточно, чтобы аккуратно оформить работу «как в примерах».
