1. Сократите дробь: а) 48x⁶y²/72x⁴y³

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Сократите дробь:
а) $\frac{48x^6y^2}{72x^4y^3}$
б) $\frac{23a}{a^2-6a}$
в) $\frac{3b-3a}{b^2-a^2}$
г) $\frac{-31x^7y^2}{93x^4yz}$

2. Представьте в виде дроби:
а) $\frac{14a+8}{5a}-\frac{3-a^2}{a^2}$
б) $\frac{5}{2y+x}-\frac{5}{2y-x}$
в) $\frac{3m+7}{4m-m^2}+\frac{6}{4-m}$
г) $\frac{2c+d}{8c-3d}-\frac{c-9d}{3d-8c}$

3. Выполните умножение дробей:
а) $\frac{a^6}{56b^5}\cdot\frac{72b^4}{a^9}$
б) $\frac{y-x}{y}\cdot\left(\frac{y}{x}+\frac{y}{y-x}\right)$

4. Выполните деление дробей:
а) $\frac{12x^7y}{z}:(60x^5y^5)$
б) $\frac{1-49x^2}{4-x^2}:\frac{3+21x}{2-x}$

5. Вычислите:
$\frac{55^5\cdot14^4}{22^5\cdot35^4}$

Answer

На фото 5 заданий. Ниже — решения ко всем пунктам; все дроби рассматриваются при допустимых значениях переменных.

Ответы

1. Сократите дробь
а) $\dfrac{2x^{2}}{3y}$

б) $\dfrac{23}{a-6}$

в) $\dfrac{3}{a+b}$

г) $-\dfrac{x^{3}y}{3z}$

2. Представьте в виде дроби
а) $\dfrac{19a^{2}+8a-15}{5a^{2}}$

б) $-\dfrac{10x}{4y^{2}-x^{2}}=\dfrac{10x}{x^{2}-4y^{2}}$

в) $\dfrac{9m+7}{m(4-m)}$

г) $\dfrac{3c-8d}{8c-3d}$

3. Умножение дробей
а) $\dfrac{9}{7a^{3}b}$

б) $\dfrac{y}{x}$

4. Деление дробей
а) $\dfrac{x^{2}}{5y^{4}z}$

б) $\dfrac{1-7x}{3(x+2)}$

5. Вычислите
$$
\dfrac{55^{5}\cdot 14^{4}}{22^{5}\cdot 35^{4}}=\dfrac52=2{,}5
$$

Как это получается

1. При сокращении степеней используем правило $\dfrac{t^p}{t^q}=t^{p-q}$. Например:
$$
\frac{48x^6y^2}{72x^4y^3}
=\frac{48}{72}\cdot x^{6-4}\cdot y^{2-3}
=\frac23\cdot x^2\cdot \frac1y
=\frac{2x^2}{3y}.
$$
В пунктах 1б и 1в сначала раскладываем на множители:
$$
a^2-6a=a(a-6),\qquad b^2-a^2=(b-a)(b+a).
$$

2. Для суммы и разности дробей приводим к общему знаменателю. Например, в 2а:
$$
\frac{14a+8}{5a}-\frac{3-a^2}{a^2}
=\frac{a(14a+8)-5(3-a^2)}{5a^2}
=\frac{19a^2+8a-15}{5a^2}.
$$
В 2г важно заметить, что $3d-8c=-(8c-3d)$, поэтому знак вычитания меняется.

3. В 3б сначала упрощаем скобку:
$$
\frac{y}{x}+\frac{y}{y-x}
=\frac{y(y-x)+xy}{x(y-x)}
=\frac{y^2}{x(y-x)}.
$$
После умножения на $\dfrac{y-x}{y}$ остаётся $\dfrac{y}{x}$.

4. При делении дробей умножаем на обратную дробь:
$$
\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}.
$$
В 4б раскладываем:
$$
1-49x^2=(1-7x)(1+7x),
$$
$$
4-x^2=(2-x)(2+x),\qquad 3+21x=3(1+7x).
$$

5. Раскладываем основания на простые множители:
$$
55=5\cdot 11,\quad 22=2\cdot 11,\quad 14=2\cdot 7,\quad 35=5\cdot 7.
$$
После сокращения одинаковых степеней получается:
$$
\frac{5^{5}11^{5}\cdot 2^{4}7^{4}}
{2^{5}11^{5}\cdot 5^{4}7^{4}}
=\frac{5}{2}.
$$