462. Вместо звездочки вставьте соответствующие числа. Какие дроби приведены к общему знаменателю:

Краткий ответ (звёздочки — слева направо):

1. \(\frac{2}{3}=\frac{14}{21}\) и \(\frac{5}{7}=\frac{15}{21}\); звёздочки \(3\) и \(7\); общий знаменатель \(21\).
2. \(\frac{4}{5}=\frac{52}{65}\) и \(\frac{7}{13}=\frac{35}{65}\); звёздочки \(5\) и \(13\); общий знаменатель \(65\).
3. \(\frac{2}{3}=\frac{34}{51}\) и \(\frac{8}{17}=\frac{24}{51}\); звёздочки \(3\) и \(17\); общий знаменатель \(51\).
4. \(\frac{10}{19}=\frac{70}{133}\) и \(\frac{3}{7}=\frac{57}{133}\); звёздочки \(19\) и \(7\); общий знаменатель \(133\).

Все четыре пары дробей приведены к общему знаменателю.

Как это понять. Основное свойство дроби:

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k} \]

То есть числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же число — значение дроби не изменится. Обратное действие — сокращение.

Например, в пункте 1:

\[ \frac{14}{21}=\frac{2}{3}, \qquad \frac{15}{21}=\frac{5}{7} \]

Поэтому пропущенные знаменатели — \(3\) и \(7\).

Остальные пункты аналогично:

• пункт 2: \(\frac{52}{65}=\frac{4}{5}\), \(\frac{35}{65}=\frac{7}{13}\);
• пункт 3: \(\frac{34}{51}=\frac{2}{3}\), \(\frac{24}{51}=\frac{8}{17}\);
• пункт 4: \(\frac{70}{133}=\frac{10}{19}\), \(\frac{57}{133}=\frac{3}{7}\).

Проверка. Подстановка найденных чисел возвращает верные равенства, а знаменатели в каждой паре совпадают. Во всех случаях общий знаменатель является и наименьшим, потому что пары знаменателей \(3\) и \(7\), \(5\) и \(13\), \(3\) и \(17\), \(19\) и \(7\) взаимно просты.