111. Является ли число 3 корнем уравнения: а) 5(2x - 1) = 8x + 1; б) (x - 4)(x + 4) = 7?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
111. Является ли число 3 корнем уравнения:
а) $5(2x-1)=8x+1$; б) $(x-4)(x+4)=7$?

112. Какие из чисел -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:
а) $x^{2}=10-3x$; б) $x(x^{2}-7)=6$?

113. Является ли корнем уравнения $x(x-5)=6$ число:
а) 1; б) -1; в) 6; г) -6?

114. Докажите, что каждое из чисел 7, -3 и 0 является корнем уравнения $x(x+3)(x-7)=0$.

115. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и -1,2 является корнем уравнения $x^{2}=1,44$.

116. Докажите, что:
а) корнем уравнения $1,4(y+5)=7+1,4y$ является любое число;
б) уравнение $y-3=y$ не имеет корней.

117. Имеет ли корни уравнение:
а) $2x+3=2x+8$; б) $2y=y$?

118. Приведите пример, опровергающий утверждение (контрпример):
а) уравнение $3x+11=3(x+4)-1$ не имеет корней;
б) уравнение $33x=18x$ не имеет корней.

119. Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого является число: а) 8; б) -12.

Answer

На фото упражнения 111–119. Корень уравнения — это число, при подстановке которого получается верное равенство. Поэтому проверяем подстановкой, а утверждения «любое число» или «нет корней» — преобразованием уравнения.

Коротко:
111: а) да; б) нет.
112: а) $2$; б) $-2,-1,3$.
113: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
114–116: доказательства ниже.
117: а) корней нет; б) есть, $y=0$.
118: а) подходит $x=0$; б) подходит $x=0$.
119: например, а) $x-8=0$; б) $x+12=0$.

Подробно

111.
а) Подставляем $x=3$:
$$
5(2\cdot3-1)=5\cdot5=25,\qquad 8\cdot3+1=25.
$$
Равенство верное, значит, $3$ — корень.
б) При $x=3$:
$$
(3-4)(3+4)=(-1)\cdot7=-7\ne7.
$$
Значит, $3$ не является корнем.

112. Проверяем данные числа подстановкой.
а) $x^2=10-3x$: подходит только $x=2$, так как
$$
2^2=4,\qquad 10-3\cdot2=4.
$$
Остальные числа равенства не дают.
б) $x(x^2-7)=6$: подходят
$$
x=-2,\quad x=-1,\quad x=3.
$$
Например, при $x=-2$:
$$
-2\bigl((-2)^2-7\bigr)=-2(4-7)=6.
$$
При $x=0$ и $x=2$ получается не $6$.

113. Проверяем варианты:

$x=1$: $1(1-5)=-4\ne6$;

$x=-1$: $(-1)(-1-5)=6$ — подходит;

$x=6$: $6(6-5)=6$ — подходит;

$x=-6$: $(-6)(-6-5)=66\ne6$.

Ответ: б) $-1$ и в) $6$.

114. Подставляем каждое число:
$$
7(7+3)(7-7)=0,
$$
$$
(-3)(-3+3)(-3-7)=(-3)\cdot0\cdot(-10)=0,
$$
$$
0(0+3)(0-7)=0.
$$
В каждом случае один множитель равен нулю, поэтому произведение равно нулю. Значит, все три числа — корни.

115. Проверяем:
$$
(1{,}2)^2=1{,}44,\qquad (-1{,}2)^2=1{,}44.
$$
Оба равенства верны, значит, $1{,}2$ и $-1{,}2$ — корни уравнения $x^2=1{,}44$.

116.
а) Раскрываем скобки:
$$
1{,}4(y+5)=1{,}4y+7.
$$
Получаем $1{,}4y+7=7+1{,}4y$. Это верно при любом $y$, поэтому корнем является любое число.
б) $y-3=y$. Вычитаем $y$ из обеих частей:
$$
-3=0.
$$
Это невозможно, значит, корней нет.

117.
а) $2x+3=2x+8$. После вычитания $2x$:
$$
3=8,
$$
что неверно. Корней нет.
б) $2y=y$, значит,
$$
y=0.
$$
Корень есть: $y=0$.

118.
а) Возьмём $x=0$:
$$
3\cdot0+11=11,\qquad 3(0+4)-1=12-1=11.
$$
То есть $x=0$ — корень, значит, утверждение «корней нет» неверно. На самом деле это тождество.
б) Возьмём $x=0$:
$$
33\cdot0=18\cdot0=0.
$$
Значит, $x=0$ — корень, утверждение неверно.

119.
а) Например,
$$
x-8=0.
$$
При $x=8$: $8-8=0$.
б) Например,
$$
x+12=0.
$$
При $x=-12$: $-12+12=0$.

Главное правило: чтобы проверить корень, подставь число в уравнение; чтобы доказать «любое число» — приведи обе части к одинаковому виду; чтобы доказать «нет корней» — получи невозможное равенство вроде $-3=0$.