простые числа от 1 до 100
Краткий ответ
Простые числа от 1 до 100 — их 25:
\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97 \]
Единица сюда не входит.
Как это получить, а не запомнить
1. Определение. Простое число — натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и само число. У числа 1 только один делитель, поэтому оно не простое и не составное. Числа 4, 6, 8, 9… имеют больше двух делителей — они составные.
2. Главный приём — проверять делители только до корня. Если у числа \(n\) есть делитель \(d\), то есть и парный делитель \(\frac{n}{d}\). Один из них обязательно не больше \(\sqrt{n}\), иначе их произведение превысило бы \(n\). Значит, для чисел до 100 хватает проверки делителей до \(\sqrt{100}=10\), то есть на делимость на \(2, 3, 5, 7\).
3. Решето Эратосфена. Выписываем числа 2…100, затем вычёркиваем все кратные 2 (кроме самой 2), потом кратные 3 (кроме 3), кратные 5 (кроме 5), кратные 7 (кроме 7). Дальше вычёркивать не нужно: \(11^2=121>100\). Незачёркнутые числа и есть простые.
4. Где обычно ошибаются. Не простые, хотя выглядят «одинокими»:
\[ 51=3\cdot17,\quad 57=3\cdot19,\quad 87=3\cdot29,\quad 91=7\cdot13,\quad 49=7^2,\quad 77=7\cdot11 \]
А вот \(97\) проверить легко: оно не делится ни на 2, ни на 3 (\(9+7=16\)), ни на 5, ни на 7 (\(7\cdot13=91\), \(7\cdot14=98\)) — значит, простое.
Проверка результата
- Все числа в списке нечётные, кроме 2 — так и должно быть, ведь любое чётное больше 2 делится на 2.
- Каждое число из списка не делится ни на 3, ни на 5, ни на 7 (кроме самих 3, 5, 7) — это и есть критерий простоты для чисел до 100.
- Количество — 25; это известное значение \(\pi(100)=25\), где \(\pi(n)\) — число простых, не превосходящих \(n\).
